关于CFD方程中不可压缩和粘性项一些不严谨的地方

程迪

有些细节，似乎OF处理得不好，当然很多CFD程序也不行，如Fluent从Theory Guide来看也不咋地。主要是两方面：

不可压缩条件的处理
粘性项的处理

不可压

比如icoFoam的方程，其实只适用于均质不可压常粘性的流动，并不是完整的不可压。不可压缩的条件是
\begin{equation}
\nabla \cdot \mathbf U = 0
\end{equation}
等价于
\begin{equation}
\frac{D}{Dt}\rho=0
\end{equation}

这个条件和均质不可压缩条件：
\begin{equation}
\rho = const
\end{equation}
是不一样的。

icoFoam中的方程直接就把密度粘性啥的统统除以了密度，是有问题的。

粘性

粘性项本身非常复杂
@李东岳的 http://dyfluid.com/rhoPimpleFoam.html 中的方程也是有问题的。

严格的牛顿流的粘性是：
\begin{equation}
\nabla\cdot\tau= \nabla\cdot(\mu [\nabla\mathbf U+(\nabla\mathbf U)^T])+\nabla(\lambda\nabla\cdot \mathbf U)
\end{equation}

不可压条件可以去掉体积粘性

\begin{equation}
\nabla\cdot\tau= \nabla\cdot(\mu [\nabla\mathbf U+(\nabla\mathbf U)^T])= \nabla\cdot(\mu \nabla\mathbf U)+\nabla\mu\cdot(\nabla\mathbf U)^T
\end{equation}
其中有一个与粘性的梯度有关的项。
若要进一步简化，就需要引入常粘性条件：
\begin{equation}
\mu = const
\end{equation}
这样才有

\begin{equation}
\nabla\cdot\tau= \nabla\cdot(\mu \nabla\mathbf U)=\mu\nabla\cdot \nabla\mathbf U=\mu \Delta \mathbf U
\end{equation}

再假设均质不可压，才有

\begin{equation}
\frac 1 \rho \nabla\cdot\tau=\nu \Delta \mathbf U
\end{equation}

xpqiu

$\frac{D \rho}{Dt}= \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{U}\cdot \nabla \rho$
如果 $\rho = const$，那么 $\frac{D \rho }{Dt} =0$ 就成立啊。

这时候，连续性方程$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot(\rho \mathbf{U}) = 0$ 与 $\nabla \cdot \mathbf{U}=0$ 也就是等价了。

random_ran

有点不理解，不可压的条件不应该是：密度是常数吗？这样的话，可压N.S.方程就能写成：
\begin{equation}
\nabla \cdot \mathbf U = 0
\end{equation}
均质不可压和不可压有什么区别吗？我指的是从物理上的角度，不是数学公式。
希

程迪

@xpqiu

@random_ran

$\frac {D \rho}{Dt}=0$是指沿质点沿流线密度不变, $\rho = const$指全场密度为常数，前者成立时后者不一定成立，比如一层油一层水的情况。

random_ran

大概能理解你的意思了。

其实我在讨论的时候，就自动默认了所研究对象是均质的(homogeneous)，以及不包含化学反应和质量扩散(mass diffusion)。

icoFoam 这样把密度粘性除以密度，是在自己的假设范围内，个人觉得是讲得通的。对于一层油一层水的情况，icoFoam恐怕就无能为力。

Klaus A. Hoffmann Computational Fluid Dynamic Volume 1 Fourth Edition p303页：

This assumption is known as continuum and is valid as long as the smallest length in a physical domain is much lager than the mean free path of molecules.

虽然大体上似乎能理解，但是我又有疑惑 "smallest length in a physical domain" 具体指的是什么？计算域的大小？还是我研究对象的特征长度？ mean free path of molecules 又指的是什么？长度又如何计算？

程迪

@random_ran
平均分子自由程，那个是指Knudsen数了，是连续介质假设成立的条件。

即使不是一层水一层油，密度和粘性有梯度的时候也挺恶心的，好像斜压效应很难体现。而且实际离散的方程不对的话在无限加密网格的时候是恢复不到原来的方程的，相容性有点儿问题。

xpqiu

@程迪在关于CFD方程中不可压缩和粘性项一些不严谨的地方中说：

@xpqiu

@random_ran

$\frac {D \rho}{Dt}=0$是指沿质点沿流线密度不变, $\rho = const$指全场密度为常数，前者成立时后者不一定成立，比如一层油一层水的情况。

“不可压缩”这个定义并不统一，不同的作者使用“不可压缩”来指代不同的情形，比如有的人认为不可压缩指的是密度不是压力的函数（但密度可以是温度，物质组成的函数），有的定义为你上面说的那种，即流体质点的密度沿着迹线不变（这种定义下，一层油一层水这种分层流就是不可压缩的），还有把不可压缩等同为密度恒定的（不随时间、空间、物质组成、温度而变）。OpenFOAM中的不可压缩求解器，我认为用的是最后一种定义。所以一层油一层水的不适合使用OpenFOAM中的那些单相不可压缩求解器来求解。

关于不可压缩和可压缩流动的讨论，cfd-online 上有一个很好的帖子。

程迪

我看到的教科书不可压全是散度为零。

icofoam的描述是不可压层流牛顿流。

这就是of恶心的地方，没有theory guide. 还不清楚用的啥方程。

cfd-online没有提到粘性有梯度的问题。实际上液体粘性随温度升高下降得挺快的，比密度变化快的多。

xpqiu

@程迪 OpenFOAM没有theory guide确实是提高了不少入门门槛，但是换一个角度想，OpenFOAM开源啊，源代码都给你了，想知道求解的是什么方程，看代码就明白了。用OpenFOAM需要适应一下，代码就是最好的guide，什么细节都告诉你了。

程迪

@xpqiu

也可以这么说。但是还是有个TG比较好。特别是OF 的solver偏多，不同solver解的方程不同，不从方程出发，比较难比较。

李东岳

3个月前沟通过，基金会无心出理论指南，除非有重大的赞助。基金会的风格和Henry个人风格很有关系，毕竟Henry是老大，并且Henry和学术界无任何关系。考虑一些商业事情，要从人的本性出发。

国内CFDer如果想要官方版TG，需要募集大量资金赞助基金会。

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