对DPM模型里颗粒的时间离散格式的一些疑惑

[田畔的风]

ANSYS Fluent里，针对颗粒的运动方程写作：
$$
m_p \frac{d \vec{u}_p}{d t}=m_p \frac{\vec{u}-\vec{u}_p}{\tau_r}+m_p \frac{\vec{g}\left(\rho_p-\rho\right)}{\rho_p}+\vec{F}
$$
式中， 右侧第一项是曳力项，第二项是浮力+重力，第三项是其他外力。

理论手册里把这个公式简写成一个一阶线性非齐次常微分方程：
$$
\frac{d u_p}{d t}=\frac{1}{\tau_p}\left(u-u_p\right)+a
$$
式中，$\tau_p,a,u$被视为常数。

这个速度的方程如果用欧拉法或者龙格库塔做数值离散进行求解是比较好理解的，但是Fluent还给出了一个名为analytical integration（不定积分？）的求解方法，可以把上式离散成：
$$
u_p^{n+1}=u^n+e^{-\frac{\Delta t}{\tau_p}}\left(u_p^n-u^n\right)-a \tau_p\left(e^{-\frac{\Delta t}{\tau_p}}-1\right)
$$
这个公式看着有点像常微分的通解，但又不知道为什么又会出现$n,n+1$这种表示离散化的上标，有没有大佬知道如何推导？

[李东岳]

这个ODE是有解析解，我在这两个文章里面也用过。https://www.cfd-china.com/topic/838 在这个里面你可以看到我当时推导的内容

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0010465519303728

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0301932220306558

[田畔的风]

@李东岳 哇，感谢李老师