entropy function的一个问题

[FRain]

在标注部分中提到，右边第二项在取极限时不会消失，请问哪位老师或同学能给出证明或者证明的思路吗，谢谢！
这本书是Randall J.Leveque写的Numerical Methods for Conservation laws.位于第38页
@东岳

[东岳]

方程表示：
$$
\int_\Omega\eta''(u)u_x^2\rd\Omega\geqslant 0
$$
因为
$$
\eta''(u) \geqslant 0, u_x^2 \geqslant 0
$$
第一个因为$\eta$为凸函数，第二个为平方项

[FRain]

@东岳
李老师您好~多谢回复。

我想请教下对于$\int_\Omega\eta''(u)u_x^2\rd\Omega$

这一项为什么在当有激波，$\epsilon \to 0$的时候不会消失，即不趋近于0。

应该必须是他的量级在$1/\epsilon$以上时才不会消失，但我想了解下导致这一项不会消失的具体原因。

谢谢！

[东岳]

$\epsilon \rightarrow 0$ 并不是$\epsilon = 0$，否则不会有...if $u$ is smooth at $x_1$ and $x_2$...。在粘度趋向于很小的时候，不连续变成具备一定厚度的光滑解，同样承认有厚度的激波。所以
$$
\epsilon\int_\Omega\frac{\p}{\p u}\left(\frac{\p \eta}{\p u}\right)\left(\frac{\p u}{\p x}\right)^2\rd x\rd t \geq 0
$$
另外，
\begin{equation}
\int_{x_2}^{x_1}\left(\epsilon(\eta_q q_x)_x\rd x -\epsilon\eta(\eta_q)_q q_x^2\right)\rd x=\epsilon\left(\eta_q q_x|_{x=x_1}-\eta_q q_x|_{x=x_2}\right)-\epsilon\eta(\eta_q)_q q_x^2\Delta x
\end{equation}
考虑一个非常小的$\epsilon=1e-10$，在控制体内$\epsilon\left(\eta_q q_x|_{x=x_1}-\eta_q q_x|_{x=x_2}\right)\rightarrow 0$，$\epsilon\eta(\eta_q)_q q_x^2\Delta x$还是大于0.