关于动量方程表面源项的离散问题

肖艺

《The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics - An Advanced Introduction with OpenFOAM and Matlab》书15章不可压缩流中15.5.1节关于动量方程表面源项的离散是不是有问题？

张量的高斯公式应该是：
故正确的计算结果应该是：
大佬们指点下。

李东岳

为什么你的转置没了？

肖艺

@东岳上一个打错了。张量和矢量的左点乘和右点乘不一样吧，矢量左点乘张量=张量的转秩右点乘矢量

李东岳

你那个大黄图，应该是$\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}$吧？

肖艺

@东岳不确定啊，到几处文献上看到是n.A,。 A为一阶张量(即矢量)时，在左或右都一样。

李东岳

看起来nA乘不了

队长别开枪

@肖艺矢量的梯度是二阶张量，n乘A是乘不了的，我看的书都是写作A.n，没见过n.A这种写法

肖艺

@队长别开枪明白了谢谢!

肖艺

@东岳如何删除这个帖子啊

李东岳

@肖艺为什么要删除？

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Mrc.Young

@肖艺你写的张量形式的高斯公式是对的（参考推导：高斯散度定理）。$\mathbf{n}\cdot\mathbf{A}$在矩阵形式下乘不了，但在张量形式下可以计算，而且正因为$\nabla {\mathbf{U}}$是二阶张量（且一般情况不对称），所以我觉得你的计算结果是正确的。（希望有人可以进一步讨论）

李东岳

是可以相乘，所以最后的问题是，一些书里面写$\int \nabla\cdot\bfU\rd V=\int_s\bfU\cdot\mathbf{n}\rd S$，一些书里面写$\int \nabla\cdot\bfU\rd V=\int_s\mathbf{n}\cdot\bfU\rd S$ ，然后两个还不相等？

就像一些书里面写速度的散度是
\begin{equation}
\label{gradientV}
\nabla \mathbf{U} = \left[
\begin{matrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial x}\\
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial y} \\
\frac{\partial u_1}{\partial z} & \frac{\partial u_2}{\partial z} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\\
\end{matrix}
\right]
\end{equation}
一些书里面写成了
\begin{equation}
\nabla \mathbf{U} = \left[
\begin{matrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z}\\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\\
\end{matrix}
\right]
\end{equation}

对于后一个问题，之前找过资料是CFD里面要写成第一种形式。对于高斯定律那个问题，我更喜欢这么写 $\int \nabla\cdot\bfU\rd V=\int_s\bfU\cdot\mathbf{n}\rd S$，开起来更通顺：速度乘以面试量=通量。谁有更确定的信息也可以恭喜下

肖艺

@Mrc-Young @东岳
两个矢量点乘是标量，左右点乘都相等。
问题是不知道有没有矢量左点乘张量，若有的话，其与张量右点乘矢量的结果是不是相等。

有：
Nabla算子左点乘二阶张量A=二阶张量A的转秩右点乘Nabla算子

但如果把上面的Nabla算子换成矢量，上式还成立么？？

Mrc.Young

@肖艺可以参看郭仲衡先生的《张量（理论与应用）》和黄筑平先生的《连续介质力学基础》中的张量部分。
问题1：你也说了，矢量是一阶张量，张量无论阶数都可以相点乘，左右点乘的结果是不同的。
问题2：Nabla算子左点乘二阶张量A=二阶张量A的转秩右点乘Nabla算子是正确的
问题3：换成矢量依旧成立，原因是可以将$\nabla$看成矢量，即有：$\nabla = \frac{\partial}{\partial x_i}{\mathbf{e}}_i$

Mrc.Young

@东岳对于$\nabla{\mathbf{U}}$的矩阵形式应该是什么这个问题，从张量的角度来看我站第一种写法，更规范。
但是从CFD角度来看，公式这东西本就是规则，制定了规则就是交流用的，可读性和易理解性还是更为重要的。看个人理解，我觉得并无好坏。