请教老师们柱面坐标系下的散度公式为什么和梯度公式差异巨大呢

[知行]

如题
以下公式来源于Kundu的扛鼎之作Fluid Mechanics，fifth edition P865和P867
柱面坐标系下矢量场的散度公式
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\nabla }\overrightarrow{u}=\frac{1}{R}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }R}(R{u}_R)+\frac{1}{R}\frac{\mathrm{\partial }{u}_{\phi }}{\mathrm{\partial }\phi }+\frac{\mathrm{\partial }{u}_z}{\mathrm{\partial }z}\end{array}$$
柱面坐标系下梯度公式
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\nabla }={\mathbf{\text{e}}}_R\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }R}+{\mathbf{\text{e}}}_{\phi }\frac{1}{R}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\phi }+{\mathbf{\text{e}}}_z\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\end{array}$$
我想问下梯度公式为什么不是下式呢
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathrm{\nabla }={\mathbf{\text{e}}}_R\frac{1}{R}\frac{\mathrm{\partial }R}{\mathrm{\partial }R}+{\mathbf{\text{e}}}_{\phi }\frac{1}{R}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\phi }+{\mathbf{\text{e}}}_z\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\end{array}$$
十分感谢！

[知行]

抱歉，（1）式中$uR$应为$u_R$

[知行]

抱歉，不是梯度公式，是梯度算子

[wwzhao]

散度和梯度本来就不是一个概念，在柱坐标下差异大是对的。

注意你的散度漏了一个点，应该是 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{u}$，而不是 $\mathrm{\nabla }\mathbf{u}$。

[知行]

@wwzhao 谢谢老师！

[promisegwj]

可以找出来吴望一老师的流体力学翻翻 看看坐标系变换时如何用梅林公式对梯度散度旋度进行变换

[promisegwj]

@promisegwj 啊不对 是用拉梅系数···