欧拉方程求解是否比N-S方程更加困难？如果是，为什么？

[搬运工不好当]

不止一次看到这一个说法，大概说因为欧拉方程比NS方程更不好搞所以在实际的求解中干脆直接解真实物理的NS方程。可是欧拉方程数学形式不是更简单么，为什么求解会更困难呢？

[李东岳]

无时间项的欧拉方程不好解，原因在于：如果流场用稳态的欧拉方程来描述并求解，在激波前（超声速）为双曲线类方程组，钝体头部为椭圆线方程组（下图）。椭圆形和双曲线方程组用同一种数学解法来解并不好解。

欧拉方程相对于NS方程不好解是因为：欧拉方程（椭圆和双曲混合或双曲）和NS方程（椭圆或者抛物）的数学类型不同。且双曲型方程组比椭圆、抛物复杂是因为添加了一个流场信息沿着某个曲线（特征线）传递的特性。

欧拉方程数学形式不是更简单么，为什么求解会更困难呢？

是的，直观来讲方程少了一项。不过只是少了一项而已，导致方程的数学特性反而复杂了。

方程类型分类：

很容易看出无粘流要么为椭圆和双曲混合（稳态），要么为双曲。都要比有粘流的椭圆和抛物复杂。

因此，欧拉方程一般添加时间项。毕竟“单一双曲”比“椭圆+双曲”容易。

以上信息都可以在An Introduction to Computation Fluid Dynamics-The Finite Volume Method以及Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications中找到

[沉剑]

As an application of this geometric formulation we prove that the solution map of the incompressible Euler equation, associating intial data in Hs(Rn) to the corresponding solution at time t > 0, is nowhere locally uniformly continuous and nowhere differentiable. by Hasan Inci (2013)