动量方程中viscous term的离散，书里写的有点问题？

[Voynich]

《The finite volume in computational fluid dynamics》中，$\mathrm{\nabla }\mathbf{v}$写成

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\nabla }\mathbf{v}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}& \frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}& \frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }x}\\ \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}& \frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}& \frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }y}\\ \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}& \frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }z}& \frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }z}\end{array}\right]\end{array}$$
在书中15.5.1节对SIMPLE的推导中，把$\mathrm{\nabla }\cdot \{\mu \mathrm{\nabla }\mathbf{v}\}$作为扩散项离散，把$\mathrm{\nabla }\cdot \{\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{v}{)}^{\mathrm{\top }}\}$作为源项处理，是不是弄反了？

[李东岳]

$\mathbf{U}$和${\mathbf{U}}^T$是存在这个问题。CFD里面一般就是你写的方程1的形式。参考《笔记》2.5节

[Voynich]

@李东岳
问题可能在这儿，Moukalled书p589这两个式子有问题，应该像下面这样写：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \underset{V_C}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \{\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{v}{)}^{\mathrm{\top }}\}dV=\sum _{f\sim nb(C)}{\mathbf{S}}_f\cdot \{\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{v}{)}_f^{\mathrm{\top }}\}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\mathbf{S}}_f\cdot \{\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{v}{)}_f^{\mathrm{\top }}\}=\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^z\\ \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^z\\ \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^z\end{array}\right]\end{array}$$

就是说，把$\mathrm{\nabla }\cdot \{\mu \mathrm{\nabla }\mathbf{v}\}$作为diffusion，把$\mathrm{\nabla }\cdot \{\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{v}{)}^{\mathrm{\top }}\}$作为source处理是对的。diffusion term用高斯定理积分后应该是

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \underset{V_C}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \{\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{v})\}dV=\sum _{f\sim nb(C)}{\mathbf{S}}_f\cdot \{\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{v})\}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\mathbf{S}}_f\cdot \{\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{v})\}=\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^z\\ \frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^z\\ \frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^z\end{array}\right]\end{array}$$

$\mathrm{\nabla }\cdot \{\mu \mathrm{\nabla }\mathbf{v}\}$和(5)的第$i$分量分别和Ferziger的Computational Method for Fluid Dynamics p185式(7.8)的微分形式和积分形式一致。

其中
$$\begin{array}{}\text{(6)}& \mathrm{\nabla }{u}_i\cdot \mathbf{n}dS=\frac{\mathrm{\partial }{u}_i}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }{u}_i}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }{u}_i}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^z\end{array}$$
总结，$\mathrm{\nabla }\cdot \{\mu \mathrm{\nabla }\mathbf{v}\}$是扩散项没问题，可以应用中心差分等数值格式计算。Moukalled书p589的式(15.65)张量形式的高斯定理写错了，$\mathbf{a}\cdot \{\tau \}$写成了$\{\tau \}\cdot \mathbf{a}$，式(15.66)展开成分量也就跟着错了。麻烦大佬看看我理解的对不对？

[李东岳]

这排版太流弊了。

不过为什么写成方程2,3？ 你的方程3如果继续做散度，无法消去，正常可以用连续性方程消去等于0。
我觉得你的高斯定律应该写反了。我觉得你可能$\mathrm{\nabla }\mathbf{U}$这一块就反了。最开始用一个反的，到后面只能每一步都需要用反的才能对上。

你那个方程6是$\mathrm{\nabla }\mathbf{U}\cdot \mathbf{S}$么？第一行应该是$u_x{S}_x+v_x{S}_y+w_x{S}_z$. 方程2 3 4 5应该也是反了。

[Voynich]

@李东岳 感谢大佬回复，我说的可能有点乱，核心问题就是，$\mathrm{\nabla }\cdot \{\tau \}$拆成两部分：

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{rl}& \underset{V_C}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \{\tau \}dV\\ =& \underset{V_C}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \{\mu \mathrm{\nabla }\mathbf{v}\}dV+\underset{V_C}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \{\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{v}{)}^{\mathrm{\top }}\}dV\\ =& \sum _f◻\cdot {\mathbf{S}}_f+\sum _f◻\cdot {\mathbf{S}}_f\end{array}\end{array}$$

不管$◻$里面是分子布局还是分母布局，反正可以得到下面两项：

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \sum _f◻\cdot {\mathbf{S}}_f=\sum _f\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^z\\ \frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^z\\ \frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^z\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \sum _f◻\cdot {\mathbf{S}}_f=\sum _f\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }x}{S}_f^z\\ \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }y}{S}_f^z\\ \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^x+\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^y+\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }z}{S}_f^z\end{array}\right]\end{array}$$

应该是前面一个，式(8)作为diffusion处理，对每个分量都有$\mathrm{\nabla }\varphi \cdot {\mathbf{S}}_f=\frac{{\varphi }_F-{\varphi }_C}{d_{CF}}{S}_f$（正交网格）。是这样吗？

[李东岳]

你的方程8写的对。是。你最后一个帖子是对的。

你这排版太流弊了。我都没你写得好..

[Voynich]

@李东岳 明白了，谢谢李老师。排版排了好久，清楚一点方便讨论