entropy function的一个问题



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    在标注部分中提到,右边第二项在取极限时不会消失,请问哪位老师或同学能给出证明或者证明的思路吗,谢谢!
    这本书是Randall J.Leveque写的Numerical Methods for Conservation laws.位于第38页
    @东岳



  • 方程表示:
    $$
    \int_\Omega\eta''(u)u_x^2\rd\Omega\geqslant 0
    $$
    因为
    $$
    \eta''(u) \geqslant 0, u_x^2 \geqslant 0
    $$
    第一个因为$\eta$为凸函数,第二个为平方项



  • @东岳
    李老师您好~多谢回复。

    我想请教下对于$\int_\Omega\eta''(u)u_x^2\rd\Omega$

    这一项为什么在当有激波,$\epsilon \to 0$的时候不会消失,即不趋近于0。

    应该必须是他的量级在$1/\epsilon$以上时才不会消失,但我想了解下导致这一项不会消失的具体原因

    谢谢!



  • $\epsilon \rightarrow 0$ 并不是$\epsilon = 0$,否则不会有...if $u$ is smooth at $x_1$ and $x_2$...。在粘度趋向于很小的时候,不连续变成具备一定厚度的光滑解,同样承认有厚度的激波。所以
    $$
    \epsilon\int_\Omega\frac{\p}{\p u}\left(\frac{\p \eta}{\p u}\right)\left(\frac{\p u}{\p x}\right)^2\rd x\rd t \geq 0
    $$
    另外,
    \begin{equation}
    \int_{x_2}^{x_1}\left(\epsilon(\eta_q q_x)_x\rd x -\epsilon\eta(\eta_q)_q q_x^2\right)\rd x=\epsilon\left(\eta_q q_x|_{x=x_1}-\eta_q q_x|_{x=x_2}\right)-\epsilon\eta(\eta_q)_q q_x^2\Delta x
    \end{equation}
    考虑一个非常小的$\epsilon=1e-10$,在控制体内$\epsilon\left(\eta_q q_x|_{x=x_1}-\eta_q q_x|_{x=x_2}\right)\rightarrow 0$,$\epsilon\eta(\eta_q)_q q_x^2\Delta x$还是大于0.


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