Operator Splitting跨越两个时间步长么？

李东岳

有意思的小问题

考虑有源项的对流方程
$\begin{matrix} (1) & \frac{\partial ϕ}{\partial t} + u \frac{\partial ϕ}{\partial x} = - β ϕ \end{matrix}$
Operator Splitting的策略是首先步进纯对流问题（时间间隔 $Δ t$ ）
$\begin{matrix} (2) & \frac{\partial ϕ}{\partial t} + u \frac{\partial ϕ}{\partial x} = 0 \end{matrix}$
其解为（显性，迎风）
$\begin{matrix} (3) & ϕ_{i}^{t + Δ t} = ϕ_{i}^{t} - \frac{u Δ t}{Δ x} (ϕ_{i}^{t} - ϕ_{i - 1}^{t}) \end{matrix}$
然后求解源项问题（时间间隔 $Δ t$ ）
$\begin{matrix} (4) & \frac{\partial ϕ}{\partial t} = - β ϕ \end{matrix}$
解为（欧拉显性）
$\begin{matrix} (5) & ϕ_{i}^{t + Δ t + Δ t} = (1 - β Δ t) ϕ_{i}^{t + Δ t} \end{matrix}$
那么，Operator Splitting是否步进了两个时间步长呢？在时间间隔 $Δ t$ 下，最终的解是 $ϕ^{t + Δ t + Δ t}$ ？

答案

并没有。很简单，如果将方程 $(3)$ 代入到 $(5)$ 有
$\begin{matrix} (6) & ϕ_{i}^{t + Δ t + Δ t} = (1 - β Δ t) (ϕ_{i}^{t} - \frac{u Δ t}{Δ x} (ϕ_{i}^{t} - ϕ_{i - 1}^{t})) = ϕ_{i}^{t} - \frac{u Δ t}{Δ x} (ϕ_{i}^{t} - ϕ_{i - 1}^{t}) - β Δ t ϕ_{i}^{t} + \frac{u β Δ t^{2}}{Δ x} (ϕ_{i}^{t} - ϕ_{i - 1}^{t}) \end{matrix}$
上面的方程， $Δ t$ 如果很小，最后一项可以忽略，就是一个时间步啦

李东岳

另外一种Operator Splitting是对于方向的，考虑方程
$\begin{matrix} (7) & \frac{\partial ϕ}{\partial t} + \frac{\partial u ϕ}{\partial x} + \frac{\partial v ϕ}{\partial y} = 0 \end{matrix}$
如果顺序先求解x，再求解y，What do you think ?

Hungryandfool

为什么这个要交opeartor splitting呢？没理解。

Qing

@Hungryandfool
Operator 翻译过来叫做 ”算子“，也就是说，微分方程的空间项可以看作是不同的算子，比如 “对流”（散度），“扩散”（梯度）；
Splitting 的意义在于不同项可以相对独立的去求解，甚至采用完全不同的求解器，这样有利于提高计算效率，减小计算复杂性

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