Operator Splitting跨越两个时间步长么？

[东岳]

有意思的小问题

考虑有源项的对流方程
\begin{equation}
\frac{\p\phi}{\p t}+u\frac{\p \phi}{\p x}=-\beta\phi
\end{equation}
Operator Splitting的策略是首先步进纯对流问题（时间间隔$\Delta t$）
\begin{equation}\label{div}
\frac{\p\phi}{\p t}+u\frac{\p \phi}{\p x}=0
\end{equation}
其解为（显性，迎风）
\begin{equation}\label{divSolution}
\phi_i^{t+\Delta t}=\phi_i^{t}-\frac{u\Delta t}{\Delta x}\left(\phi^t_i-\phi^t_{i-1}\right)
\end{equation}
然后求解源项问题（时间间隔$\Delta t$）
\begin{equation}\label{s}
\frac{\p\phi}{\p t}=-\beta\phi
\end{equation}
解为（欧拉显性）
\begin{equation}\label{sSolution}
\phi^{t+\Delta t+\Delta t}_i=(1-\beta\Delta t)\phi_i^{t+\Delta t}
\end{equation}
那么，Operator Splitting是否步进了两个时间步长呢？在时间间隔$\Delta t$下，最终的解是$\phi^{t+\Delta t+\Delta t}$？

答案

并没有。很简单，如果将方程\eqref{divSolution}代入到\eqref{sSolution}有
\begin{equation}\label{finalSolution}
\phi_i^{t+\Delta t+\Delta t}=(1-\beta\Delta t)\left(\phi_i^{t}-\frac{u\Delta t}{\Delta x}\left(\phi^t_i-\phi^t_{i-1}\right) \right) \\
=\phi_i^t-\frac{u\Delta t}{\Delta x}\left(\phi_i^t-\phi_{i-1}^t\right)-\beta\Delta t\phi_i^t+\frac{u\beta\Delta t^2}{\Delta x}\left(\phi_i^t-\phi_{i-1}^t\right)
\end{equation}
上面的方程，$\Delta t$如果很小，最后一项可以忽略，就是一个时间步啦

[东岳]

另外一种Operator Splitting是对于方向的，考虑方程
\begin{equation}
\frac{\p\phi}{\p t}+\frac{\p u\phi}{\p x}+\frac{\p v\phi}{\p y}=0
\end{equation}
如果顺序先求解x，再求解y，What do you think ?

[Hungryandfool]

为什么这个要交opeartor splitting呢？没理解。

[Qing]

@Hungryandfool
Operator 翻译过来叫做 ”算子“，也就是说，微分方程的空间项可以看作是不同的算子，比如 “对流”（散度），“扩散”（梯度）；
Splitting 的意义在于不同项可以相对独立的去求解，甚至采用完全不同的求解器，这样有利于提高计算效率，减小计算复杂性