OpenFOAM中标准k-e湍流模型的一点疑问

史浩

对于standard k-$\epsilon$ 模型，其k与$\epsilon$的控制方程如下：
\begin{equation}
\frac{\partial }{\partial t}\left ( \rho k \right )+\frac{\partial }{\partial x_{i}}\left ( \rho u_{i}k\right )=\frac{\partial }{\partial t}\left [ \left ( \mu +\frac{\mu_t}{\sigma_{k}} \right ) \frac{\partial k}{\partial x_{j}} \right ]+G_{k}-\rho \epsilon
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial }{\partial t}\left ( \rho \epsilon \right )+\frac{\partial }{\partial x_{i}}\left ( \rho u_{i} \epsilon \right )=\frac{\partial }{\partial t}\left [ \left ( \mu +\frac{\mu_{ t }}{\sigma_{ \epsilon }} \right ) \frac{\partial \epsilon }{\partial x_{j}} \right ]+C_{1\epsilon}\frac{\epsilon}{k}G_{k}- C_{2\epsilon}\rho \frac{\epsilon^2 }{k}
\end{equation}
在OpenFOAM中，其实现代码在$(FOAM_SRC)/TurbulenceModels/turbulenceModels/RAS/kEpsilon/kEpsilon.C文件中，对应的代码如下：

     volScalarField::Internal G
     (
         this->GName(),
         nut.v()*(dev(twoSymm(tgradU().v())) && tgradU().v())
     );
     tgradU.clear();
 
     // Update epsilon and G at the wall
     epsilon_.boundaryFieldRef().updateCoeffs();
 
     // Dissipation equation
     tmp<fvScalarMatrix> epsEqn
     (
         fvm::ddt(alpha, rho, epsilon_)
       + fvm::div(alphaRhoPhi, epsilon_)
       - fvm::laplacian(alpha*rho*DepsilonEff(), epsilon_)
      ==
         C1_*alpha()*rho()*G*epsilon_()/k_()      //对应epsilon方程右侧第二项
       - fvm::SuSp(((2.0/3.0)*C1_ - C3_)*alpha()*rho()*divU, epsilon_)  //当U不满足连续方程时的修正项？
       - fvm::Sp(C2_*alpha()*rho()*epsilon_()/k_(), epsilon_)  //我的问题：和epsilon方程对应的右侧第三项不符
       + epsilonSource()                  //自定义源项？
       + fvOptions(alpha, rho, epsilon_)  //fvOption添加的源项
     );
 
     epsEqn.ref().relax();
     fvOptions.constrain(epsEqn.ref());
     epsEqn.ref().boundaryManipulate(epsilon_.boundaryFieldRef());
     solve(epsEqn);
     fvOptions.correct(epsilon_);
     bound(epsilon_, this->epsilonMin_);
 
     // Turbulent kinetic energy equation
     tmp<fvScalarMatrix> kEqn
     (
         fvm::ddt(alpha, rho, k_)
       + fvm::div(alphaRhoPhi, k_)
       - fvm::laplacian(alpha*rho*DkEff(), k_)
      ==
         alpha()*rho()*G  //对应k方程右侧第二项
       - fvm::SuSp((2.0/3.0)*alpha()*rho()*divU, k_)  //连续性误差修正项
       - fvm::Sp(alpha()*rho()*epsilon_()/k_(), k_)   //我的问题：与k方程右侧第三项不对应
       + kSource()                  //自定义k源项
       + fvOptions(alpha, rho, k_)  //fvOption对应的源项
     );
 
     kEqn.ref().relax();
     fvOptions.constrain(kEqn.ref());
     solve(kEqn);
     fvOptions.correct(k_);
     bound(k_, this->kMin_);

方程中，$G_{k}$为湍流生成项，一些书籍中，其定义如下，为什么代码中硬生生多出来一个$\rho$？
\begin{equation}
G_{k}=-\rho \overline{u_{i}^{'}u_{j}^{'}}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\simeq 2\mu_{t}s_{ij}s_{ij}
\end{equation}
我的问题写在了注释上了，是我的湍流方程写错了，还是OpenFOAM中对湍流方程有着特殊的处理？请各位老师指点

yfclark

不可压缩湍流模型：

    volScalarField G(GName(), nut_*(tgradU() && dev(twoSymm(tgradU()))));

可压缩湍流模型：

 volScalarField G(GName(), mut_*(tgradU() && dev(twoSymm(tgradU()))));

你看看是不是这样的

史浩

@yfclark 多谢！这样我理解了G前面的rho的含义了。麻烦老兄看一下我代码注释中的两个问题。公式补充如下：
k与e的控制方程如下：

上面的两个公式右侧第三项与OpenFOAM中代码中写的不一样，不知道是我公式的问题，还是OpenFOAM中模型的特殊处理，或者两种表达是等价的？

yfclark

是对应的，fvm::Sp是源项处理，fvm::Sp(C2_*alpha()*rho()*epsilon_()/k_(), epsilon_) 可以理解为
C2_alpha()*rho()*epsilon_()/k_()*epsilon_,只不过把C2_*alpha()*rho()*epsilon_()/k_()做为显式的系数，epsilon_是求解变量做了隐式处理，论坛里有几个帖子你搜索一下

史浩

@yfclark Sp是隐式源项添加方法，将源项加到对角线的元素上。
epsilon方程中的源项离散可以理解，不过我觉得写成下面的形式收敛性会不会更好一点（红色部分为隐式离散的系数）？

在k方程中，右侧第三项是-rho* epsilon，这一项对应的变量不是k，怎么隐式离散？为什么OpenFOAM中其隐式离散的系数为rho* epsilon/k？

yfclark

典型的教科书离散源项方法，你的离散完全正确，k里面应该时强行离散的，目的只是为了增加求解稳定性吧

史浩

@yfclark 多谢老师！解答了我很多疑问。
之所以对k方程右侧第三项的隐式离散比较感兴趣，是因为他是对另外一个变量的隐式离散，具体处理应该是这样的：

通过上述的方式在k方程中对epsilon进行了隐式的离散，增加求解的稳定性
如果给定任意一个传输方程组，形式如下：

两个方程的右侧第一个源项能很好的隐式离散，但是右侧第二个源项和另外一个方程的变量有关，这个怎么隐式离散？是完全凭经验，还是有一些比较好的方法进行处理？

大喵

大佬，我也遇到和你一样的疑问，为啥G前面多了个rho，不吝赐教万分感谢！！！

东岳

@史浩对于你$\phi_1$和$\phi_2$这种方程，已经属于耦合系统。只能显性离散。比如$\phi_1$的方程$\phi_2$显性离散

@大喵二楼已经回答了啊

史浩

@东岳多年的僵尸帖被大佬翻牌子，吓了一跳。当时求解一个耦合方程，自己想着最理想的方式就是全耦合，两个变量组装成一个矩阵，整体求解，然后自己就掉进牛角尖里出不了。后来想k-e模型中两个变量是耦合在一起的，就学习了一下OpenFOAM中湍流方程的处理方法。现在用显示耦合方法计算，然后多迭代一两次，精度并不差，就放弃了最开始整体求解的想法。
@大喵这个对方程和代码再好好对应一下，OpenFOAM里面的和经典湍流模型方程是一致的

大喵

谢谢两位大佬@史浩 @东岳