欧拉方程按照声速传输的特征变量



  • 前几天OKS的时候有个同学问欧拉方程是不是速度U和压力p按照声速传播。当时我给的答案是不是。在这里详细说一下这个问题。对于双曲系统
    \begin{equation}
    q_t+Aq_x=0
    \end{equation}
    其中$q$是求解的矢量,比如$[p,u]$;$_t$是对变量求时间导数,$_x$是对空间求导数,$A$是一个矩阵,但不是对角阵。双曲系统中的$A$是可以对角化的:
    \begin{equation}
    A=R \Lambda R^{-1}
    \end{equation}
    其中$R$是特征向量组建的矩阵,$\Lambda$是特征值组件的对角阵,如果定义$w=R^{-1}q$,最原始的方程就可以变成
    \begin{equation}
    w_t+\Lambda w_x=0
    \end{equation}
    这个方程式一系列解耦的双曲方程,可以所有的$w$都按照特征值的方向进行传播。因此对于欧拉方程,p和u并不是按照声速传播,按照声速传播的是$w$,$w$可通过$w=R^{-1}q$求出。

    $w$也就是特征变量哦。如果感觉困惑,或许可以看看这个:http://homepages.see.leeds.ac.uk/~amt6xw/Distance Learning/CFD5020COMP/node17.html


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