时间步长对连续性方程的影响

李东岳

时间步长对连续性方程的影响

之前就有人讨论过时间步长对结果的影响。在sci里面虽然见过一些讨论。我一直没有实操去验证。理论看的也有点蒙圈。但是最近有个老铁还准确的复现了这个问题。参考这个帖子 https://cfd-china.com/topic/6664/圆柱计算中无关性验证的问题/24
我就琢磨详细看一下这个 $Δ t$ 到底影响啥了。看了好一阵子，总算从算法的角度上理解了咋回事。

http://dyfluid.com/icoFoam.html
起始于网页中的方程24：

$\sum ({H b y A}_{f}^{t + Δ t} - \frac{1}{A_{P, f}} {(\frac{1}{V_{P}} \sum p_{f}^{t + Δ t} S_{f})}_{f}) \cdot S_{f} = 0,$
展开有

$\sum (\frac{- \sum A_{N} U_{N}^{t + Δ t} + \frac{1}{Δ t} U_{P}^{t}}{\frac{1}{Δ t} + \frac{1}{V_{P}} \sum \frac{F_{f}^{t}}{2} + \frac{1}{V_{P}} \sum ν \frac{| S_{f} |}{| d |}} - \frac{1}{(\frac{1}{Δ t} + \frac{1}{V_{P}} \sum \frac{F_{f}^{t}}{2} + \frac{1}{V_{P}} \sum ν \frac{| S_{f} |}{| d |})_{P, f}} {(\frac{1}{V_{P}} \sum p_{f}^{t + Δ t} S_{f})}_{f}) \cdot S_{f} = 0,$

在 $Δ t$ 趋向于0的时候

$\begin{matrix} (1) & \sum (\frac{\frac{1}{Δ t} U_{P}^{t}}{\frac{1}{Δ t}} - \frac{1}{\frac{1}{Δ t}} {(\frac{1}{V_{P}} \sum p_{f}^{t + Δ t} S_{f})}_{f}) \cdot S_{f} = 0, \end{matrix}$

继续化简，因为

$\sum U_{P}^{t} \cdot S_{f} \neq 0$

所以继续求解方程 $(1)$ 的时候，压力与速度的组合会存在连续性误差。

针对这个问题的一种解决方式，是将时间项与其他项分开进行离散。也就是时间项不进入到UEqn.A()。

关联问题：

https://cfd-china.com/topic/6664/圆柱计算中无关性验证的问题/24

https://cfd-china.com/topic/342/icofoam的一些细节问题/13

https://cfd-china.com/topic/746/聊一聊同位网格的速度压力解耦

https://cfd-china.com/topic/5522/用较小的时间步长-结果反而出问题了/7

西湖冷月

学流体的小明

有点意思，所以结论是“时间步长不能调太小？”

李东岳

@学流体的小明 openfoam里面那个ddrcorr的目的就是为了处理这个问题。但是这个是Weller自己搞出来的。我还在研究这个怎么处理的。目前只是从方程上看出来确实有这个问题。

https://cfd-china.com/topic/6664/圆柱计算中无关性验证的问题/24 主要是这个完美的复现了这个问题。不过他还没回复，还没深入debug，我怀疑是这个问题。

crispy

@李东岳老师抱歉，最近一直没登录论坛，我现在参照一个参考文献更改了网格，还是存在和之前一样的问题，即减小时间步长后的Cd没有收敛到一个固定值。

李东岳

@crispy 我去提bug后然后回复你

Neeukan Luyu

学习了，赞

沉剑

可以参考这一篇JCP 2018, Unified formulation of the momentum-weighted interpolation for collocated variable arrangements.

CFD中文网

时间步长对连续性方程的影响