LES介绍的文章的一个公式

[一二]

@李东岳 李博好，最近浏览您的CFD中的LES湍流模型一文。发现您的Smagorinsky模型(公式18)中注释的内容 $\frac{1}{2}\tau_{ii}\delta_{ij}$经常和压力$p$结合在一起形成过滤压力 这段话，是不是应该是$\frac{2}{3}k_{SGS}\delta{ij}$与压力$p$结合在一起？$\frac{1}{3}\tau{ij}$按照Smagorinsky的假设$\tau_{ij}-\frac{1}{3}\tau_{ii}\delta{ij}=-\mu_{SGS}\overline{S_{ij}}$应该合并到了过滤速度的剪切变形律里面了吧。
后面的Smagorinsky亚格子模型，文献中给出的那个模型也是通过局部平衡假设得到的，也就是
\begin{equation}
\overline{\mathbf{S}}:\mathbf{\tau}+C_{e}\frac{k_{sgs}^{1.5}}{\Delta}=0
\end{equation}
这一公式跟OpenFOAM中的源代码也完全一致:angry:

    volSymmTensorField D(symm(gradU));
 
    volScalarField a(this->Ce_/this->delta());
    volScalarField b((2.0/3.0)*tr(D));
    volScalarField c(2*Ck_*this->delta()*(dev(D) && D));
 
    return tmp<volScalarField>
    (
        new volScalarField
        (
            IOobject
            (
                IOobject::groupName("k", this->U_.group()),
                this->runTime_.timeName(),
                this->mesh_
            ),
            sqr((-b + sqrt(sqr(b) + 4*a*c))/(2*a))
        )
    );

我看到您贴的一个$k_{SGS}=2\frac{C_{k}}{C_{e}}\Delta^{2}\overline{S_{ij}^{2}}$，不知道这个有没有相关出处？

[李东岳]

感谢反馈，有关过滤压力来自于这里，其他有关OpenFOAM公式对应部分，我查看一下然会再回帖。

[李东岳]

CFD中的LES湍流模型内容已更新，你提出来的kSGS应该是我当时求解方程推出来的，有误，已更正，并做内容增补。

非常感谢！

参考文献有很多都需要引用，但是网页版本引用太麻烦了，排版很费事，一直没有解决的办法。主要是序号的问题，一旦从第一篇参考文献开始重新排列序号，全文序号都需要手动排。

[一二]

@李东岳 我自己推了一下，那个不可压的时候确实是你那个结果，我搞错了

[李东岳]

也就是说求解 http://dyfluid.com/docs/LES.html 方程24 就是一楼你贴的那个kSGS？

[李东岳]

看起来是的，那个是我2016年推导的，过程并没有放在网上，暂且这样吧。如果你可以把求解二元一次函数的过程贴在这里，我非常高兴把他们放在我的网页 :-)

[一二]

嗯，下面是我推的
\begin{equation}
\overline{\mathbf{S}}:\mathbf{\tau}+C_{e}\frac{k_{sgs}^{1.5}}{\Delta}=0 \
left = \overline{\mathbf{S}}:[\frac{2}{3}k_{sgs}\mathbf{I}-2\mu_{sgs}\mathbf{dev}(\overline{\mathbf{S}})]+k_{sgs}^{1.5}\frac{C_{\epsilon}}{\Delta}
\end{equation}
因为
\begin{equation}
\mu_{sgs}=C_{k}\Delta\sqrt{k_{sgs}} \
left = \overline{\mathbf{S}}:[\frac{2}{3}k_{sgs}\mathbf{I}-2C_{k}\Delta\sqrt{k_{sgs}}]+k_{sgs}^{1.5}\frac{C_{\epsilon}}{\Delta} \
= \sqrt{k_{sgs}}(\frac{C_{\epsilon}}{\Delta}k_{sgs}+\frac{2}{3}\mathbf{tr}(\overline{\mathbf{S}})\sqrt{k_{sgs}}-2C_{k}(\mathbf{dev}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}})) \
= ak_{sgs}+b\sqrt{k_{sgs}}-c\
= right = 0
\end{equation}
其中
\begin{equation}
a=\frac{C_{\epsilon}}{\Delta} \
b=\frac{2}{3}tr(\overline{\mathbf{S}}) \
c=2C_{k}(\mathbf{dev}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}} \
\sqrt{k_{sgs}}=\frac{-b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a}
\end{equation}
当为不可压缩流体时$tr{\overline{\mathbf{S}}}=0$,那么$b=0$、$c=2C_{k}(\overline{\mathbf{S}}:\overline{\mathbf{S}})$,就可以得到$k_{sgs}=\frac{c}{a}=\frac{2C_{k}||\overline{\mathbf{S}}||^{2}{}\Delta}{C_{\epsilon}}$

[一二]

@李东岳 看来是这样的，当初你写的那个ksgs还是对的

[李东岳]

已更新，非常感谢！

[winsway_zero]

@东岳 东岳老师，有个小问题咨询一下。就是
\begin{equation}
\nu_{\mathrm{SGS}}=\rho\left(C_{\mathrm{SGS}} \Delta \right)^2 \sqrt{\frac{1}{2}(\nabla\bar{\bfU}+\nabla\bar{\bfU}^{\mathrm{T}}):(\nabla\bar{\bfU}+\nabla\bar{\bfU}^{\mathrm{T}})}
\label{lilly}
\end{equation}
中的应变率张量数值格式在使用投影法计算时应该为显式吧？

[李东岳]

@winsway_zero 肯定是显性

我最近在想为什么不直接植入这个更简单的Smagorinsky方程：
\begin{equation}
\nu_t=(C_s\Delta)^2\sqrt{\mathbf{D}:\mathbf{D}}
\end{equation}

[李东岳]

@李东岳 看来只能植入实测一下..

[李东岳]