一个积分

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$$\begin{array}{}\text{(1)}& -\int r^k\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\varphi (r)f(r))\mathrm{d}r=\end{array}$$
文献里面这么给的
$$\begin{array}{}\text{(2)}& -\int r^k\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\varphi (r)f(r))\mathrm{d}r=\int k{r}^{k-1}\varphi (r)f(r)\mathrm{d}r\end{array}$$
这事我算的：
$$\begin{array}{}\text{(3)}& -\int r^k\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\varphi (r)f(r))\mathrm{d}r=-\int r^k\mathrm{d}[\varphi (r)f(r)]=-(r^k\varphi (r)f(r)-\int \varphi (r)f(r)\mathrm{d}{r}^k)=-r^k\varphi (r)f(r)+k\int r^{k-1}\varphi (r)f(r)\mathrm{d}r\end{array}$$
后面怎么多出来这个项：$-r^k\varphi (r)f(r)$?

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这个是文献里面的。怎么回事呢。

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推导的时候忘记了积分限。添加积分限之后则和文献一致。如图：

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$\frac{\mathrm{\partial }(\int v^{k}n(v)\mathrm{d}d)}{\mathrm{\partial }v}$ does not equal to $\int v^k\frac{\mathrm{\partial }n(v)}{\mathrm{\partial }v}\mathrm{d}d$

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find . -type f | xargs -n 5 touch