做个公式记录



  • 经常有些公式简单到不能包含在任何文章里,但是每次一步一步推导的时候还不能升略,专门写个文档还很麻烦,在这开个贴记录一下把,随时随地可以访问。


    Third term in Eq. 8.122:

    \begin{equation}
    \frac{1}{\tau_0 \xi^{2/3}}\frac{\partial vn}{\partial v}
    \end{equation}
    Transform it to be moments:

    \begin{equation}
    \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{v^j \xi^k}{ \tau_0 \xi^{2/3}}\frac{\partial vn}{\partial v}\mathrm{d}v\mathrm{d}\xi= \frac{1}{\tau_0}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}v^j \xi^{k-2/3} \frac{\partial vn}{\partial v}\mathrm{d}v\mathrm{d}\xi
    \end{equation}

    \begin{equation}
    =\frac{1}{\tau_0}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}v^j \xi^{k-2/3} \mathrm{d}(vn)\mathrm{d}\xi
    \end{equation}

    \begin{equation}
    =\frac{1}{\tau_0}\int_{-\infty}^{+\infty}\xi^{k-2/3} \left(\int_{0}^{+\infty}v^j \mathrm{d}(vn)\right) \mathrm{d}\xi
    \end{equation}

    \begin{equation}
    =\frac{1}{\tau_0}\int_{-\infty}^{+\infty}\xi^{k-2/3} \left(v^{j+1}n_{-\infty}^{+\infty} - \int_{0}^{+\infty}j v^j n \mathrm{d}(v)\right) \mathrm{d}\xi
    \end{equation}

    \begin{equation}
    =-\frac{1}{\tau_0}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}j v^j \xi^{k-2/3} n \mathrm{d}(v) \mathrm{d}\xi
    \end{equation}

    \begin{equation}
    =-\frac{j}{\tau_0}m_{j,k-2/3}
    \end{equation}


    \begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{u_c-u_d}{A}
    \end{equation}

    \begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}(u_d-u_c)}{u_d-u_c}=-\frac{\mathrm{d}t}{A}
    \end{equation}

    \begin{equation}
    \mathrm{ln}(u_d-u_c)=-\frac{1}{A}+C
    \end{equation}

    \begin{equation}
    u_d-u_c=e^{-t/A+C}
    \end{equation}

    $t=0$, $u_d=u_d^*$

    \begin{equation}
    u_d^*-u_c=e^{C}
    \end{equation}

    \begin{equation}
    C=\mathrm{ln}(u_d^*-u_c)
    \end{equation}

    for next time step:

    \begin{equation}
    u_d=\mathrm{exp}(-\frac{\Delta t}{A}+\mathrm{ln}(u_d^* -u_c))=e^{-\Delta t/A}(u_d^*-u_c)
    \end{equation}



  • 流弊。


  • 管理员

    我也来一个
    \begin{equation}
    \mathrm{hazard}=\frac{p(x)}{P(>x)}
    \end{equation}


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