关于雷诺时均方程的疑问



  • 小弟有个疑问:
    在计算湍流时,如果对N-S方程直接数值求解,要求网格尺寸非常小才能模拟出小尺度的涡流,导致计算量太大实用性不佳;而雷诺时均方程中在形式上与N-S方程只多出了雷诺应力项,为什么在数值计算上就变得“好处理”了?是否意味着小尺度的涡流被“过滤”掉了,所以对网格的尺寸要求没那么高了?这个过滤的作用在数学上是怎么理解的?



  • 如果我们采用DNS直接模拟,必然需要网格尺寸非常小来捕获动态的小涡结构。举个例子,如果我们的小涡尺寸在1厘米,如果网格在10厘米,这种1厘米的小窝怎么能体现出来呢?
    另外需要记住一点是在DNS和LES中的涡结构是非常动态的。比如时间t的时候某个部位存在一个涡,在另一个时间t+1的时候这个位置的涡消失了,别的地方产生了涡。为了精确的在时间上体现涡旋的时间步进,这也需要在DNS以及LES中时间不长足够小并且尽可能的使用高阶时间精度。

    雷诺时均重要的就在其把NS方程时均化了。这个时均就是近似可以理解为一个对所有的流动特性做一个时间上的平均。之所以他比N-S方程只多出了雷诺应力项,这完全是数学上的原因。对NS方程做时均后确实仅仅增加了雷诺应力项。所以,表象上只是增加了一项,实际上它把整个NS方程进行了石俊操作。它并没有使得数值计算好处理。相反的他比NS方程更难以求解。并且需要对雷诺应力进行模化才能够封闭。在RANS模型中,小尺度的涡并没有被过滤掉。这种过滤操作只在LES中被实现。RANS中某些涡旋的消失主要是这些瞬态涡旋的消失。流动中持续的稳定的大涡依然存在。问题的根本要记得:RANS是__时间平均__后的NS方程。

    最后,这些在基础的CFD书中一般都有提及,



  • 谢谢。
    那我可不可以这样理解,时均的意义在于,时均化之后,对网格的尺寸和时间步长的要求都没那么高了?



  • @liqiwen 是的,这就是RANS存在的意义。



  • 湍流是一个随机过程。对于随机过程,我们可以研究它的统计规律,或者它的一个事件。统计规律是无限多的事件的统计宗和。

    DNS 和 LES 计算的仅仅是湍流的一个事件,而雷诺平均方程描绘的是湍流的统计过程。你可以设想,不求解雷诺平均方程,而要得到湍流的统计过程,你需要求解无限多次DNS或LES,然后你才能得到湍流的统计过程。

    理论上,一个雷诺平均方程的解会给你湍流的统计过程,免取你求解无限多次DNS或LES。但是,实际上,雷诺平均方程,由于未知雷诺应力,而不封闭。因此,目前雷诺平均方程仅仅是一经验方程。

    进一步的研究,我们会发现,没有新的物理和数学的突破,雷诺平均方程将不会封闭。也许,当雷诺平均方程封闭的时候,湍流问题将被解决 - 这也许是科学史上,最重大的事件之一。



  • @李东岳 你说的RANS是时间平均后的NS方程,是不是说比如LES其时间 步长远小于RANS,而非定常的RANS的时间步长很大,因此做时间步长内的时间平均?
    如果RANS的时间步长过小,是不是不存在意义了



  • @一二

    这就像Co数一样,有些情况下Co<1就可以,如果设置更小的Co,也不是不可以。RANS只不过是没必要那么小,LES有必要那么小。



  • @cfd-china
    我的意思是雷诺时均已经是一个时均量了,那对非定常有啥意义呢



  • 严格(一般)来讲,没有雷诺时均,或雷诺空间平均方程。雷诺平均方程(RANS)指的是,雷诺统计平均方程。数学上,我们可以严格地根据概率统计理论推导出雷诺平均方程。导出的雷诺平均方程,形式上,和教科书的雷诺平均方程一样。但是,雷诺应力是统计平均意义下的雷诺应力。

    当湍流的统计平均过程是一个定常过程(这时,我们可以做雷诺时均方程),雷诺统计平均方程就和雷诺时均方程一样了。这时,雷诺应力可以理解为时间平均意义下的雷诺应力。

    LES,和雷诺平均方程,或雷诺时均方程,没有任何关联。LES指的是,一个虑波算子作用NS方程后的一个方程组。虑波算子作用后,留下格子雷诺应力。格子雷诺应力是一组积分方程。LES平均方程+格子雷诺应力积分方程,是数学上封闭的。今天大家都不直接解格子雷诺应力积分方程,而是用一个简单的方程,近视它们。但是,理论上,LES不存在任何问题。

    雷诺平均方程是理论上不封闭的。这就是我们常说的没有解决的湍流问题,它是现代物理最重大的没有解决的问题之一。LES没有封闭性的问题,因为理论上它是封闭的。



  • 顺便说一下,liqiwen的上述理解是错误的。网格的空间尺寸和时间步长的要求,由解的波长和频率来决定。没有这样的结论:时间平均后,湍流的空间尺度一定变大。

    但是,今天大多数人都结受它。提醒的是,它没有科学的依据。


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