连续性方程推导的疑问(微元控制体)



  • 0_1466042930931_微元控制体.png

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    注:$\LaTeX$语法可能加载较慢,直接将其弄成图片形式了



  • 在控制体内推导方程的时候,所有变量density 和 pressure等等都是空间和时间的函数,不会视为定值。
    微元体质量里的density是单元中心的density,如果用泰勒展开只保留一阶的话(假定为线性的),它也等于单元平均值。
    所以你的大前提就错了。



  • @hangsz density 和 pressure等等都是空间和时间的函数,但是如果density在微元控制体内不为定值,那么微元体的质量应该用积分表示
    0_1466082138694_2016-06-16_210206.png

    不知是否合理?如果以上式表示质量,继续推导的话,怎么得到书中的微元控制体的连续性方程形式



  • 所以你的问题就是为什么$\frac{\partial \rho u}{\partial t}=\rho \frac{\partial u}{t}$?


  • OpenFOAM教授

    x方向流入质量:$(\rho u)|_{x} \Delta y \Delta z$
    x方向流出质量:$(\rho u)|_{x+\Delta x} \Delta y \Delta z$
    y方向流入质量:$(\rho v)|_{y} \Delta x \Delta z$
    y方向流出质量:$(\rho v)|_{y+\Delta y} \Delta x \Delta z$
    z方向流入质量:$(\rho w)|_{z} \Delta x \Delta y$
    z方向流出质量:$(\rho w)|_{z+\Delta z} \Delta x \Delta y$

    于是,
    $\frac{\partial \rho}{\partial t}\Delta x \Delta y \Delta z = ((\rho u)|_{x} - (\rho u)|_{x+\Delta x}) \Delta y \Delta z + ((\rho v)|_{y} - (\rho v)|_{y+\Delta y}) \Delta x \Delta z + ((\rho w)|_{z} - (\rho w)|_{z+\Delta z}) \Delta x \Delta y$

    两边除以 $\Delta x \Delta y \Delta z$
    $\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{(\rho u)|_{x} - (\rho u)|_{x+\Delta x}}{\Delta x} + \frac{(\rho v)|_{y} - (\rho v)|_{y+\Delta y}} {\Delta y} + \frac{(\rho w)|_{z} - (\rho w)|_{z+\Delta z}} {\Delta z}$

    所以
    $\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \left ( \frac{\partial}{\partial x} (\rho u) + \frac{\partial}{\partial y} (\rho v) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho w) \right ) = - \nabla \cdot \rho \textbf U$

    对控制体积分,运用高斯定理,可得连续性方程的积分形式
    $\frac{\partial}{\partial t} \int \rho dV = - \oint \rho \textbf U \cdot \textbf n dS$



  • @cfd-china 其实我的思路是这样的
    0_1466253362498_推导.png

    我推导不出书中的结论



  • @wwzhao 谢谢回复!
    0_1466253890633_推导.png
    我的推导有问题吗?



  • 你的推倒没问题,只是你没学会变化。
    微元体的质量变化率应该是:0_1466300221610_11.jpg
    由于控制体形状不变,所以和 0_1466300259442_22.jpg
    是相同的。

    而这两个式子都可以化为:0_1466300407516_33.jpg

    关键在于你要理解这里的density是微元中心的密度,它在一阶泰勒展开(线性),也即假设density在单元内是线性变化的时候,等于平均密度,所以三重积分可以写成密度与体积相乘的形式。
    偏导符号在三重积分外,比较容易推出。而偏导符号在三重积分内时,由于微分是线性算子,所以之前的密度的线性分布假设也是不受影响的。

    吐槽:你们打的公式,全都是符号,可能是我浏览器有问题。



  • @hangsz :sunglasses: ,厉害。我的数学基础还是太薄弱。

    注:公式全是符号?火狐浏览器容易出现这个问题,应该是渲染不行。chrome和ie浏览器好一点。


  • OpenFOAM教授

    @hangsz 论坛的 MathJax 插件有缺陷,需要刷新页面一次才能显示出来。


  • OpenFOAM教授

    @simthere 你的问题其实可以简化为:为什么 $\int \rho dV = \rho_P \int dV$。(其中 $\rho_P$ 为格心处的流体密度)

    下面给出简略证明:

    我们假设P为单元格心,$\textbf x_P$ 为P点坐标,那么有如下定义
    $\int (\textbf x - \textbf x_P) dV = 0$

    于是密度对控制单元的积分为:
    $\int \rho dV = \int [\rho_P + (\textbf x - \textbf x_P) \cdot (\nabla \rho_P)] dV = \rho_P \int dV + (\nabla \rho_P) \cdot \int (\textbf x - \textbf x_P) dV = \rho_P \int dV$

    同理可以推广到压力、速度等物理量。



  • @wwzhao :thanks!


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