关于动量方程表面源项的离散问题



  • 《The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics - An Advanced Introduction with OpenFOAM and Matlab》书15章不可压缩流中15.5.1节关于动量方程表面源项的离散是不是有问题?
    2707536f-d2fa-48db-8b7a-7ee97c96dbac-image.png
    张量的高斯公式应该是:8b111ab7-6544-48ea-868f-cd2aaaf57242-image.png
    故正确的计算结果应该是:1ecc25f0-9334-4918-8284-f1593a0c484d-image.png
    大佬们指点下。



  • 为什么你的转置没了?



  • @东岳 上一个打错了。张量和矢量的左点乘和右点乘不一样吧,矢量左点乘张量=张量的转秩右点乘矢量



  • 你那个大黄图,应该是$\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}$吧?



  • @东岳 不确定啊,到几处文献上看到是n.A,。 A为一阶张量(即矢量)时,在左或右都一样。



  • :mianmo: 看起来nA乘不了


  • 自由表面模型副教授 OpenFOAM教授

    @肖艺 矢量的梯度是二阶张量,n乘A是乘不了的,我看的书都是写作A.n,没见过n.A这种写法



  • @队长别开枪 明白了谢谢!



  • @东岳 如何删除这个帖子啊:jingya:



  • @肖艺 为什么要删除?:jingya:

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  • @肖艺 你写的张量形式的高斯公式是对的(参考推导:高斯散度定理)。$\mathbf{n}\cdot\mathbf{A}$在矩阵形式下乘不了,但在张量形式下可以计算,而且正因为$\nabla {\mathbf{U}}$是二阶张量(且一般情况不对称),所以我觉得你的计算结果是正确的。(希望有人可以进一步讨论:mihu:



  • 是可以相乘,所以最后的问题是,一些书里面写$\int \nabla\cdot\bfU\rd V=\int_s\bfU\cdot\mathbf{n}\rd S$,一些书里面写$\int \nabla\cdot\bfU\rd V=\int_s\mathbf{n}\cdot\bfU\rd S$ ,然后两个还不相等?

    就像一些书里面写速度的散度是
    \begin{equation}
    \label{gradientV}
    \nabla \mathbf{U} = \left[
    \begin{matrix}
    \frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial x}\\
    \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial y} \\
    \frac{\partial u_1}{\partial z} & \frac{\partial u_2}{\partial z} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\\
    \end{matrix}
    \right]
    \end{equation}
    一些书里面写成了
    \begin{equation}
    \nabla \mathbf{U} = \left[
    \begin{matrix}
    \frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z}\\
    \frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
    \frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\\
    \end{matrix}
    \right]
    \end{equation}

    :wocao:

    对于后一个问题,之前找过资料是CFD里面要写成第一种形式。对于高斯定律那个问题,我更喜欢这么写 $\int \nabla\cdot\bfU\rd V=\int_s\bfU\cdot\mathbf{n}\rd S$,开起来更通顺:速度乘以面试量=通量。谁有更确定的信息也可以恭喜下



  • @Mrc-Young @东岳
    两个矢量点乘是标量,左右点乘都相等。
    问题是不知道有没有矢量左点乘张量,若有的话,其与张量右点乘矢量的结果是不是相等。

    有:
    Nabla算子左点乘二阶张量A=二阶张量A的转秩右点乘Nabla算子339eb303-e554-4e14-a092-1686a9b34253-image.png

    但如果把上面的Nabla算子换成矢量,上式还成立么??



  • @肖艺 可以参看郭仲衡先生的《张量(理论与应用)》和黄筑平先生的《连续介质力学基础》中的张量部分。
    问题1:你也说了,矢量是一阶张量,张量无论阶数都可以相点乘,左右点乘的结果是不同的。
    问题2:Nabla算子左点乘二阶张量A=二阶张量A的转秩右点乘Nabla算子是正确的
    问题3:换成矢量依旧成立,原因是可以将$\nabla$看成矢量,即有:$\nabla = \frac{\partial}{\partial x_i}{\mathbf{e}}_i$



  • @东岳 对于$\nabla{\mathbf{U}}$的矩阵形式应该是什么这个问题,从张量的角度来看我站第一种写法,更规范。:huahua:
    但是从CFD角度来看,公式这东西本就是规则,制定了规则就是交流用的, 可读性和易理解性还是更为重要的。看个人理解,我觉得并无好坏。:mianmo:


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