LES一个方程


  • 网格教授 OpenFOAM教授 管理员

    一个朋友要我退一下这个方程,就是这个$S^2$怎么来的,我先发在这里,谁能看看不?

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  • 网格教授 OpenFOAM教授 管理员

    简单推了一下 没想到这个是个坑 这么复杂 文章里面一笔带过 我这个用的2维的 推了一下 后来发现 有个乘以2那个忘记乘了 中间还需要调用连续性方程 有空我在电脑上重新写一下

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  • 网格教授 OpenFOAM教授 管理员

    整理一下

    问题:证明均一湍流有$S^2=\frac{1}{2}\left(\frac{\p u_i}{\p x_j}\right)^2$

    推导:

    为方便讨论,考虑二维情况,
    \begin{equation}
    S^2=S_{ij}S_{ij}
    \label{1}
    \end{equation}
    \begin{equation}
    S_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\p u_i}{\p x_j}+\frac{\p u_j}{\p x_i}\right)
    \label{2}
    \end{equation}
    将方程\eqref{2}代入到\eqref{1}有
    \begin{equation}
    S^2=S_{ij}S_{ij}=S_{11}S_{11}+S_{12}S_{12}+S_{21}S_{21}+S_{22}S_{22}
    \label{3}
    \end{equation}
    \begin{equation}
    =\left(\frac{\p u_1}{\p x_1}\right)^2+\frac{1}{4}\left(\frac{\p u_1}{\p x_2}+\frac{\p u_2}{\p x_1}\right)^2+\frac{1}{4}\left(\frac{\p u_1}{\p x_2}+\frac{\p u_2}{\p x_1}\right)^2+\left(\frac{\p u_2}{\p x_2}\right)^2
    \label{4}
    \end{equation}
    \begin{equation}
    =\left(\frac{\p u_1}{\p x_1}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{\p u_1}{\p x_2}+\frac{\p u_2}{\p x_1}\right)^2+\left(\frac{\p u_2}{\p x_2}\right)^2
    \label{5}
    \end{equation}
    \begin{equation}
    =\left(\frac{\p u_1}{\p x_1}\right)^2
    +\frac{1}{2}\left( \left(\frac{\p u_1}{\p x_2}\right)^2 +2\frac{\p u_1}{\p x_2}\frac{\p u_2}{\p x_1} + \left(\frac{\p u_2}{\p x_1}\right)^2\right)
    +\left(\frac{\p u_2}{\p x_2}\right)^2
    \label{6}
    \end{equation}
    \begin{equation}
    =\left(\frac{\p u_1}{\p x_1}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{\p u_1}{\p x_2}\right)^2+\frac{\p u_1}{\p x_2}\frac{\p u_2}{\p x_1}+\frac{1}{2}\left(\frac{\p u_2}{\p x_1}\right)^2
    +\left(\frac{\p u_2}{\p x_2}\right)^2
    \label{7}
    \end{equation}


  • 网格教授 OpenFOAM教授 管理员

    这个跟湍流动能耗散率和形变率的关系有关,应该不仅仅是LES的


  • 网格教授 OpenFOAM教授 管理员

    此问题同类于湍流动能耗散率的定义。湍流动能耗散率的定义为:
    \begin{equation}
    \varepsilon=2\nu_t\overline{S_{ij}S_{ij}}
    \end{equation}
    经过各向同性假定后有:
    \begin{equation}
    \varepsilon=\nu_t\overline{\frac{\p u_i’}{\p x_k}\frac{\p u_i’}{\p x_k}}
    \end{equation}