聚并破碎的IATE模型
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界面浓度传输方程
数量密度函数$n(V)$方程（单位$1/m^6$）：
\begin{equation}
\frac{\p n}{\p t}+\nabla\cdot{(n\bfU)}=S_{bre}+S_{coa}
\end{equation}
定义矩：
\begin{equation}
m_k=\int V^kn\rd V
\end{equation}
因此$m_0$表示每单位体积的粒子数量，$m_1$表示每单位体积的粒子体积，也即相分数$\alpha$。因此有体积传输方程：
\begin{equation}
\frac{\p m_1}{\p t}+\nabla\cdot{(m_1\bfU)}=\int VS_{bre}\rd V+\int VS_{coa}\rd V
\end{equation}
由于体积守恒，因此其中
\begin{equation}
\int VS_{bre}\rd V+\int VS_{coa}\rd V=0
\end{equation}
在下文中我们用$\alpha$表示一阶矩$m_1$，因此有：
\begin{equation}
\frac{\p \alpha}{\p t}+\nabla\cdot{(\alpha\bfU)}=0
\end{equation}
即相方程。定义$A(V)$为体积$V$粒子的表面积：
\begin{equation}
A=\pi d^2, V=\frac{\pi d^3}{6}
\end{equation}
有：
\begin{equation}
A(V)=6^{2/3}\pi^{1/3}V^{2/3}
\end{equation}
同时定义界面浓度$a$：
\begin{equation}
a=\int A(V)n\rd V
\end{equation}
依据矩关系：
\begin{equation}\label{AV}
A(V)=\frac{\int A(V)n\rd V}{\int n\rd V}=\frac{a}{m_0}
\end{equation}
\begin{equation}\label{V}
V=\frac{\int Vn\rd V}{\int n\rd V}=\frac{\alpha}{m_0}
\end{equation}
有：
\begin{equation}
\frac{\p a}{\p t}+\nabla\cdot{(a\bfU)}=\int A(V)S_{bre}\rd V+\int A(V)S_{coa}\rd V
\end{equation}
由于粒子界面不具有守恒性，因此
\begin{equation}
\int A(V)S_{bre}\rd V+\int A(V)S_{coa}\rd V \neq 0
\end{equation}
同时依据\eqref{AV}和\eqref{V}的关系有：
\begin{equation}
A=\frac{a}{m_0}=6^{2/3}\pi^{1/3}\frac{\alpha}{m_0}^{2/3} \rightarrow m_0=\psi\frac{a^3}{\alpha^2},A=\frac{1}{\psi}\left(\frac{\alpha}{a}\right)^2
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\psi=\frac{1}{36\pi}
\end{equation}
依据积分关系：
\begin{equation}
\begin{split}
\int A(V)S_{bre}\rd V \approx \Delta A\int S_{bre}\rd V,
\\
\int A(V)S_{coa}\rd V \approx \Delta A\int S_{coa}\rd V
\end{split}
\end{equation}
Ishii在2004年中的文章中假定
\begin{equation}
\Delta A=\frac{1}{3}A,
\end{equation}
这是因为考虑聚并和破碎的情况下，粒子界面变化分别为：
\begin{equation}
\Delta A=-0.413A, \Delta A=0.26A
\end{equation}
其中$|0.413|+|0.26|\approx 1/3$。因此，有：
\begin{equation}\label{S}
\begin{split}
\Delta A\int S_{bre}\rd V=\frac{1}{3}A\int S_{bre}\rd V
\\
\Delta A\int S_{coa}\rd V=\frac{1}{3}A\int S_{coa}\rd V
\end{split}
\end{equation}
在IATE算法中，通常将方程\eqref{S}中的积分表示为
\begin{equation}\label{R}
\int S_{bre}\rd V=R_{bre},\int S_{coa}\rd V=R_{coa}
\end{equation}
这样有：
\begin{equation}
\frac{\p a}{\p t}+\nabla\cdot{(a\bfU)}=\frac{1}{3} \frac{1}{\psi}\left(\frac{\alpha}{a}\right)^2 (R_{bre}+B_{coa})
\end{equation}聚并破碎源项
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好像基本没有在openfoam中实现two-group的文章，看到了一篇在fluent中实现的文章。如果要是流型不是单一的泡状流的话而是各个分区都有的话也不知道算出来效果会怎么样，还看到了很多一维实现的文章，算管道系统之类的。
