Bi-conjugate Gradient Method | 双共轭梯度法



  • 双共轭梯度法: 考虑求解下面的线性系统:
    \begin{equation}\label{bicg}
    \mathbf{A}\cdot\mathbf{x}=\mathbf{b}
    \end{equation}
    如果\eqref{bicg}满足,即
    \begin{equation}\label{bicg1}
    \mathbf{A}\cdot\mathbf{x}-\mathbf{b}=0
    \end{equation}
    则有下面的函数
    \begin{equation}\label{bicg2}
    f(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\mathbf{x}\cdot\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}-\mathbf{b}\mathbf{x}
    \end{equation}
    其值最小。实际上,$f(\mathbf{x})$的梯度即为$\nabla f(\mathbf{x})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}-\mathbf{b}$。欲求\eqref{bicg}的解,即求$f(\mathbf{x})$的最小值。在共轭梯度法中,要求$\mathbf{A}$对称且正定。


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