CFD百科词条



  • ==== Diagonal dominance ====
    **对角占优:**对于线性方程组$a_\rP u_\rP=\sum a_\rN u_\rN$,其中$a_\rP$表示对角矩阵系数,$a_\rN$表示非对角矩阵系数,如果对于所有的元素有:$|a_\rP|\geq\sum|a_\rN|$,则这个线性方程组的系数构成的矩阵被认为是对角占优的。如果有$|a_\rP|>\sum|a_\rN|$,则这个线性方程组的系数构成的矩阵被认为是强对角占优的。对于矩阵的迭代求解,对角占优是必要条件但是并不是充分条件。CFD中的亚松弛通常用来增加矩阵的对角占优特性。

    ==== Dirac delta function ====

    狄拉克$\delta$函数是一个分布函数,该函数在除了$0$以外的点取值都等于零,在$0$点处的值为$1$。

    {{ :dirac_distribution_pdf.svg?200|}}

    其通常表示为:
    \begin{equation}
    \delta(x)=\left{\begin{matrix}
    1 & x=0\
    0 & x\neq 0
    \end{matrix}\right.
    \end{equation}
    狄拉克$\delta$函数具有下列积分特性:
    \begin{equation}
    \int\delta(x)\rd x=1
    \end{equation}
    \begin{equation}
    \int x^k \delta(x-a)\rd x=a^k
    \end{equation}
    \begin{equation}
    \int x^k \delta'(x-a)\rd x=-ka^{k-1}
    \end{equation}

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/16 15:23//
    ==== Disperse ====
    分散系统常见与多相过程,在单独提及分散系统(dispersion)的时候,不需要对物性做明确定义。然而在和多分散系统一起提及的时候,disperse常用来指单分散系统,等同于monodisperse。单分散系统中的某一相或者多相具有完全相同的属性(如直径)。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 03:27//

    ==== Downwind differencing scheme ====
    下风格式是一个一阶的用于评估面变量的插值格式。

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/upwind.svg?150}}]]

    以速度举例,假定速度为从左至右的方向,在上图中,面$p$上的$\bfU_p=\bfU_\rE$。合理的使用下风格式在VOF模型中可以对界面进行压缩。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

    ==== Eötvös number ====
    Eo数是一个无量纲数,用来衡量重力相对于表面张力的重要性,其计算公式为:
    \begin{equation}
    \mathrm{Eo}=\frac{g\Delta\rho d^2}{\sigma}
    \end{equation}
    其中$g$表示重力加速度,$\Delta\rho$表示密度差,$d$表示液滴或者气泡的当量直径,$\sigma$表示表面张力。在三维情况下,其计算公式为:
    \begin{equation}\label{Eo3D}
    \mathrm{Eo}=\left | \bfg\cdot\frac{\bfU}{|\bfU|} \right |\frac{\Delta\rho d^2}{\sigma}
    \end{equation}
    其中$\bfg$表示重力加速度矢量,$\bfU$表示连续相的速度。方程\eqref{Eo3D}为开源CFD代码OpenFOAM中植入的公式,相关文献有待更新。
    ==== Euler-Lagrange approach ====
    **欧拉拉格朗日方法:**在欧拉拉格朗日方法中,流体被看作是连续介质并通过NS方程求得,离散相则通过追踪一系列的粒子/气泡/液滴的运动来计算。二者可以通过力(曳力等)的交换来实现耦合传递。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Explicit Euler ====
    **欧拉显性:**考虑对于对时间的积分,欧拉显性方法认为:
    \begin{equation}
    \int_{t_n}^{t^{n+1}}f(t)\rd t=f(t_n)\Delta t
    \end{equation}
    参考下图:

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/expliciteuler.svg?150}}]]

    图中虚线框的面积为待求的积分,欧拉显性计算的面积为灰色阴影部分的面积。欧拉显性也被称之为向前欧拉(forward Euler)。类似的方法还有欧拉隐性以及梯形公式。欧拉显性为一种一阶精度的计算格式,在CFD中使用欧拉显性具有严格的时间步长限制。

    现在以CFD中的对流项$\nabla\cdot(\bfU\phi)$来举例,对其进行欧拉显性时间积分有:
    \begin{equation}
    \int_{t^n}^{t^{n+1}}\nabla\cdot(\bfU\phi)\rd t=\nabla\cdot(\bfU^{n}\phi^{n})\Delta t
    \end{equation}

    ==== Energy Minimization Multi-scale ====
    EMMS:
    ==== Fill-in ====
    **填入:**稀疏线性系统在进行迭代求解的过程中,原本为$0$值的位置变为非$0$值的过程叫做fill-in。例如在对带状系统进行LU分解的时候,会填入若干的元素。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Finite difference method ====

    有限差分法为最古老的求解偏微分方程组的求解方法,其最早可以追溯到18世纪。有限差分法建立在泰勒公式的基础上,将计算域划分为网格点,使用网格点上的值求导数。

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/fdm.svg?150}}]]

    在上图中,灰色虚线对应的网格点上的曲线为真实的函数值。在中间的虚线处,导数为曲线的切线(红线)。有限差分通过前后的节点值,对曲线的导数进行拟定。其中backward表示向后差分,forward表示向前差分,central表示中心差分。有限差分法植入高阶格式相对容易,但是守恒的特性并没有在有限差分的求解思想中强制给定。对于复杂几何,也需要进行坐标转换求解。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Friction velocity ====

    摩擦速度定义为:
    \begin{equation}
    u_\tau=\sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}
    \end{equation}
    其中$\tau_w$为壁面处的摩擦速度,$\rho$为密度。摩擦速度和速度的比值构成一个无量纲数:$u^+$。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Global assembly ====
    **全局装配:**对于所有的网格单元,对其进行积分得到关于所有网格单元的方程组。全局装配即为多个局部装配的组合。

    ==== Generalized population balance equation ====
    普适性群体平衡方程主要用来模拟粒子运动、增长、聚并和破碎等,其未知量为粒子的状态分布函数。单纯从数学来讲,普适性群体平衡方程为一个描述概率密度函数的偏微分方程:
    \begin{equation}
    \frac{\p n}{\p t}+\nabla_\bfx\cdot(\bfU_\rd n)+\nabla_{\bfU_\rd}\cdot(\bfA n)=S,
    \label{GPBE}
    \end{equation}
    其中$n$为概率密度函数,$\nabla_\bfx$表示对位置的散度,$\nabla_{\bfU_\rd}$表示对速度空间的散度,$\bfU_\rd$表示离散相速度,$\bfA$表示可能的体积力、表面力以及界面力,$S$表示可能的源项。方程\eqref{GPBE}难以求解,目前主要将其通过类方法、矩方法、蒙特卡洛以及其他一些方法进行求解。

    普适性群体平衡方程也可称之为玻尔兹曼方程,在假定粒子速度均一分布的情况下,普适性群体平衡方程演变为群体平衡方程。

    ==== Hankel-Hadamard determinant ====
    中文不详:对于给定概率密度函数的矩,其Hankel-Hadamard determinant计算如下[(Shohat, James Alexander, and Jacob David Tamarkin. The problem of moments. No. 1. American Mathematical Soc., 1943.)]:
    \begin{equation}
    \Delta_{k,l}=\begin{vmatrix}
    m_k & m_{k+1} & ... & m_{k+1}\
    m_{k+1} & m_{k+2} & ... & m_{k+l+1}\
    \vdots & \vdots & \vdots &\vdots \
    m_{k+l} & m_{k+l+1} & ... & m_{k+l+l}
    \end{vmatrix}\geq 0
    \end{equation}
    其中$m$表示给定数量密度函数的矩。Hankel-Hadamard determinant可用来判断多相流矩方法以及湍流PDF方法中矩的可实现性。

    ==== Heat Capacity ====

    比热容$C_p$定义为将热能输入给某物体引起的温度变化的比,其计算公式为:
    \begin{equation}
    C_p=\frac{\Delta Q}{\Delta T}
    \end{equation}
    其中$Q$表示输入的热量,$T$表示温度。$C_p$的单位为$J/K$。水在$250K$温度下的比热为$1004 J/K$。

    ==== HVAC ====
    暖通HVAC(Heating, Ventilation and Air Conditioning )泛指加热、通风以及空调系统。在CFD中,HVAC流动泛指存在对流传热的浮力驱动可压缩流动。目前有关建筑通风、楼宇风场、居室流场、以及涉及到空调类的流动均可以归结为HVAC类流动。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Implicit Euler ====
    **欧拉隐性:**考虑对于对时间的积分,欧拉隐性方法认为:
    \begin{equation}
    \int_{t^n}^{t^{n+1}}f(t)\rd t=f(t_{n+1})\Delta t
    \end{equation}
    参考下图:

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/impliciteuler.svg?150}}]]

    图中虚线框的面积为待求的积分,欧拉隐性计算的面积为灰色阴影部分的面积。欧拉隐性也被称之为向后欧拉(forward Euler)。类似的方法还有欧拉显性以及梯形公式。虽然欧拉隐性为一种一阶精度的计算方法,在CFD中,欧拉隐性由于将形成一个耦合的求解系统,比欧拉显性更加稳定。

    现在以CFD中的对流项$\nabla\cdot(\bfU\phi)$来举例,对其进行欧拉隐性时间积分有:
    \begin{equation}
    \int_{t^n}^{t^{n+1}}\nabla\cdot(\bfU\phi)\rd t=\nabla\cdot(\bfU^{n+1}\phi^{n+1})\Delta t
    \end{equation}

    ==== Jacobian determinant ====

    雅可比行列式大量的用于网格分析、有限差分以及有限元中。例如在非笛卡尔网格下使用有限差分求解流动方程的时候,在这种情况下,笛卡尔坐标系下的导数项难于计算,因此需要进行坐标变换,例如:
    \begin{equation}
    \phi(x,y)=\frac{J}{D}\phi(q,r)
    \end{equation}
    其中$\phi(x,y)$为笛卡尔坐标系下的变量,$\phi(q,r)$为局部曲线坐标系下的变量,$J$为雅可比转换矩阵,$D$为$J$的行列式。在计算导数的时候,需要知道每个网格点的$J$以及$D$。在网格分析中,网格顶点的最小雅可比行列式和最大雅可比行列式的比值经常被用于评估网格质量。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Kármán vortex street ====
    **卡门涡街:**在某些情况下,绕物体的纵向流动,在物体后方出现旋涡的周期性分离。这一现象是卡门在1912年对平板涡进行研究而发现的。

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/vortexstreet.gif?150}}]]

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

    ==== Knudsen number ====
    克努森数$\mathbf{Kn}$定为平均分子自由程和流体特征长度的比值。在分子动力学中,$\mathbf{Kn}$这样计算:
    \begin{equation}
    \mathbf{Kn}=\frac{\lambda}{L}
    \end{equation}
    其中$\lambda$表示分子自由程,$L$表示特征长度。如果$\mathbf{Kn}<0.01$,分子的运动可以认为符合连续介质假定。如果$\mathbf{Kn}>0.5$,则认为特征长度和分子自由程相近,连续介质假定不再使用。

    {{ :knudson.png?400 |}}

    在多相流体力学中,$\mathbf{Kn}$主要用于描述粒子间的碰撞作用相对于自由传输的重要性。在$\mathbf{Kn}$较小的时候,粒子间的碰撞起主要作用,因此由于较为频繁的碰撞作用导致粒子的速度分布较为均衡,满足连续性假定。在$\mathbf{Kn}>0.5$的时候,颗粒间的碰撞可以忽略,连续介质假定不再适用,在这种情况下使用CFD的宏观模型(如纳维斯托克斯方程)可能会引起错误的结果。

    $\mathbf{Kn}$数较大的比较典型的例子有稀薄气体,无颗粒碰撞的固体颗粒运动。

    ==== Laplacian quation ====
    **拉普拉斯方程:**方程类型如$\nabla^2\phi=0$的形式被称之为拉普拉斯方程,其为一个椭圆形方程。其为泊松方程的特殊形式。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

    ==== Lattice Boltzmann methods ====
    亚格子玻尔兹曼方法

    ==== Law of wall ====
    近壁法则用于描述壁面附近$u^+$和$y^+$的关系,下图为著名的$u^+$和$y^+$关系图(横坐标为幂率):

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/lawofwall.svg?200}}]]

    可以看出,在近壁面附近,$u^+$和$y^+$满足一定的关系。图中的红线在viscous sublayer中$u^+=y^+$,在log-law区域,$u^+=\frac{1}{\kappa}\mathrm{ln}(Ey^+)$。这个关系是冯卡门在1930年做了大量实验摸索出来的准则。近壁法则在CFD中可结合壁面函数对壁面附近的湍流变量更精确的预测。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Least squares ====
    **最小二乘法:**对于非笛卡尔网格,精确的梯度计算需要坐标转换。CFD中的最小二乘法主要用于非笛卡尔网格下更加普适性的梯度计算,另一个方法为格林高斯法。最小二乘法中需要定义:
    \begin{equation}\label{leastsquares}
    G_\rP=\sum_{i=1}\left(w_\rN \left(\phi_\rN-\left(\phi_\rP+\nabla\phi_\rP\cdot\bfd_{\rP\rN}\right)\right)^2\right)
    \end{equation}
    其中$w_\rN$表示隔壁单元的权重,$\phi_\rP$表示网格单元$\rP$的变量,$\phi_\rN$表示网格邻点$\rN$的变量,$\bfd_{\rP\rN}$表示网格单元$\rP$和网格邻点$\rN$的位置矢量。最小二乘法的精髓在于使得$G_\rP$尽可能的小,这可以通过限制条件:
    \begin{equation}
    \frac{\p G_\rP}{\p \left(\frac{\p \phi}{\p x}\right)}=\frac{\p G_\rP}{\p \left(\frac{\p \phi}{\p y}\right)}=\frac{\p G_\rP}{\p \left(\frac{\p \phi}{\p z}\right)}=0
    \end{equation}
    来获得,这个限制条件可以转换为关于$\frac{\p \phi}{\p x}$,$\frac{\p \phi}{\p y}$,$\frac{\p \phi}{\p z}$的三个函数,求解后即为$\phi$在网格单元$\rP$梯度。在网格扭曲严重的情况下,最小二乘法计算的梯度相比较而言更加准确。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Local assembly ====
    **局部装配:**对于某个具体的网格单元,对其进行积分得到关于这个单元的单一方程。与其对应的为全局装配。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Linear upwind differencing scheme ====
    线性迎风格式是一个二阶的用于评估面变量的插值格式。

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/upwind.svg?150}}]]

    线性迎风格式不仅考虑上风邻点的变量值,还进一步考虑上风邻点再上风的变量值。以速度举例,假定速度为从左至右的方向,面$p$上的$\bfU_p=\bfU_\rP+\frac{1}{2}\left(\bfU_\rP-\bfU_\rW\right)$。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Mach cone/angle ====
    **马赫锥/角:**若气流速度为$0$的时候,小压强的扰动向四周以圆形传递。如果气流速度为$|\bfU|$,那么小压强的扰动往下游传播的速度为$c+|\bfU|$,往上游的传播速度为$c-|\bfU|$,当$|\bfU|>c$的时候,小压强扰动不能往上游传递。其扰动形成的球面波存在于物体之后的锥面内,这个锥面被称之为马赫锥。其锥角被称之为马赫角。

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/machcone.svg?150}}]]

    上图中,在$Ma<1$的时候,扰动以球面的形式传递。在$Ma>1$的时候,则形成马赫锥。其中$\alpha$即为马赫角,其计算公式为:
    \begin{equation}
    \mathrm{sin}\alpha=\frac{1}{Ma}
    \end{equation}

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Mach number ====

    马赫数定义为流速和音速的比值:
    \begin{equation}
    Ma=\frac{|\bfU|}{c}
    \end{equation}
    其中$\bfU$为流动速度,$c$为音速。$Ma<1$的流动为亚音速流动,$Ma \approx 1$的流动为跨音速流动,$Ma>1$的流动为超音速流动。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Mean Sauter diameter ====
    平均索特直径主要用来表示多相中颗粒/气泡/液滴的平均直径,其为和颗粒具有相同大小体积表面比的球形的直径:
    \begin{equation}
    d_{32}=\frac{\sum d_i^3}{\sum d_i^2}
    \end{equation}
    其中$d_i$表示单个颗粒的直径。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Method of moments ====
    矩方法是[[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0009250964850478|Hulburt and Katz]]在1964年提出的用于求解数量密度函数方程的方法。对于任意给定的数量密度函数(也即数学中的概率密度函数),其$k$阶矩定义为:
    \begin{equation}
    m_k=\int_\Omega n(d) \rd d
    \end{equation}
    其中$m_k$表示$k$阶矩,$n(d)$表示数量密度函数,$d$表示主变量。矩方法可以将数量密度函数的方程转化为矩方程并进行自我封闭。



  • --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/14 22:53//
    ==== Monodisperse ====
    **单分散系统:**在单分散系统中,分散相的可以具有相同的属性,如颗粒具有相同的质量、气泡具有相同的直径等。注意区别多分散系统。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

    ==== MPPIC ====
    MPPIC:Multiphase Particle-In-Cell方法。MPPIC方法由[[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0301932295000720|Andrew and O'RouRke]]在1995年首先提出用于模拟浓密气固多相流动。在MPPIC中,求解的固相方程由颗粒概率密度函数分布构成:
    \begin{equation}
    \frac{\p n}{\p t}+\nabla_\bfx\cdot(\bfU_\rd n)+\nabla_{\bfU_\rd}\cdot(\bfA n)=0,
    \end{equation}
    其中$n$为颗粒概率密度函数,$\bfU_\rd$为速度,$\bfx$为位置矢量,$\nabla_\bfx$以及$\nabla_{\bfU_\rd}$为在物理空间以及相空间的散度,$\bfA$速度变量的连续变化项:
    \begin{equation}\label{A}
    \bfA=-\nabla p+\rho_\rd\bfg+\frac{1}{r}(\bfU_\rc-\bfU_\rd)-\nabla_\bfx\tau,
    \end{equation}
    其中$p$为连续相压力,$\rho_\rd$为颗粒密度,$\bfg$重力加速度矢量,$r$为弛豫时间,$\bfU_\rc$为连续相速度,$\tau$为固相应力。

    MPPIC的求解不同于DPM模型(Discrete Particle Model),在MPPIC中,同时需要计算欧拉速度场以及相分数场,但欧拉场不是通过动量方程得出,而是插值而来。粒子的位置信息通过拉格朗日方程获得。由于MPPIC中的速度在欧拉框架下处理而来,因此粒子的碰撞耦合可以在欧拉框架下处理,这样可以摒弃欧拉拉格朗日框架下颗粒耦合计算导致的过小的时间步长限制。同时,由于不需要求解动量方程,对流项引起的假扩散想象可以避免。

    MPPIC区别于传统的DPM模型最重要的在于固相应力$\tau$的存在,在DPM中,对于稠密的气固流动需要对每个颗粒进行解析导致计算资源耗费较高因此只能适用于较为稀疏的气固流动。MPPIC通过模化固相应力,使得欧拉拉格朗日方法模拟稠密气固流动变得可能。

    MPPIC又被称之为dense DPM模型,CPFD模型(Computational Particle Fluid Dynamic)。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/11/03 00:35//
    ==== Non-reflecting/Free-stream B.C. ====
    无反射边界条件:边界条件的准确信息往往并不是已知的。但是在某些情况下,如可压缩流动中,某些边界条件需要能够使得压力波随意的通过且不会被反射[(Ferziger>Ferziger, J.H., and Milovan P.. Computational methods for fluid dynamics. Springer Science & Business Media, 2012.)]。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/19 15:18//

    ==== Normalized variable diagram ====
    标准化变量图:在给出具体定义之前,首先考虑下述控制体:

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/upwind.svg?150}}]]

    在NVD中,定义一个标准化的面变量为$\tilde{\phi_p}$以及一个标准化的节点变量$\tilde{\phi_\rP}$,其通过下述公式计算:
    \begin{equation}
    \tilde{\phi_p}=\frac{\phi_p-\phi_\rW}{\phi_\rE-\phi_\rW},\tilde{\phi_\rP}=\frac{\phi_\rP-\phi_\rW}{\phi_\rE-\phi_\rW}
    \end{equation}
    这样$\phi_p$可以这样表示:
    \begin{equation}
    \phi_p=(1-\beta)\phi_\rP+\beta\phi_\rE
    \end{equation}
    其中$\beta=\frac{\tilde{\phi_p}-\tilde{\phi_\rP}}{1-\tilde{\phi_\rP}}$。给定不同的$\beta$值,具有不同的$\phi_p$值。在给定$\beta$值之后,$\tilde{\phi_p}$和$\tilde{\phi_\rP}$的关系则给定,绘制$\tilde{\phi_p}$和$\tilde{\phi_\rP}$关系的曲线即为标准化变量图。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

    ==== Particle trajectory crossing ====
    **颗粒轨迹交叉(PTC)**描述的是一种物理现象。在$\mathrm{Kn}=\infty$(无颗粒碰撞的情况下),在非常稀疏的流域往往会发生颗粒轨迹交叉。下图是一个典型的颗粒轨迹交叉示意图[(Marchisio, Daniele L., and Rodney O. Fox. Computational models for polydisperse particulate and multiphase systems. Cambridge University Press, 2013.)]:

    {{ :ptc.jpg?200 |}}

    图中颗粒自$x=1$上方注入,在$x=3.2$处颗粒进行交叉并相互穿透,继续进行传输。在有限的$\mathrm{Kn}$下,颗粒会发生碰撞,进而带来速度的多重分布,引致颗粒在越过交叉点后发生分散。PTC目前在CFD中可以使用欧拉拉格朗日方法进行较好的模拟。

    ==== Pelect number ====
    Pe数为一个无量纲数,主要用于衡量对流和扩散的相对作用。Pe越大,对流作用越强。数学上,Pe可以表示为
    \begin{equation}
    Pe=\frac{\rho|\bfU|\Delta x}{\Gamma}
    \end{equation}
    其中$\rho$表示密度,$\bfU$表示速度,$\Delta x$表示网格单元节点值的距离,$\Gamma$表示扩散系数。Pe可用来衡量中心差分格式是否稳定。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Perfect fluid ====

    理想流体即为不考虑粘度的流体。理想流体可以为液体或者气体。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Preconditioning ====
    **预条件:**在CFD的矩阵求解中,预条件是一种数学操作。例如我们定义$P$为预条件矩阵,$P^{-1}A$则表示对矩阵$A$进行预条件操作。预条件可以降低矩阵的条件数,通过对矩阵的预条件处理使得矩阵求解有利于迭代求解。预条件可用于共轭梯度法以及多重网格法。在使用预条件的时候,预条件矩阵应该尽可能是稀疏的。Gauss-Seidel被认为是最简单的预条件处理。例如:如果要求解$Ax=b$,其相当于求解$AP^{-1}Px=b$,如果令$Px=y$,则即为求解$AP^{-1}y=b$。成功的预条件应该使得求解$AP^{-1}y=b$更快速。

    另外一种预条件技术存在于密度基求解器中。密度基求解器在用于低马赫数流动的情况下方程组变得非常刚性使得方程难以收敛,在这种情况下可以通过对时间导数项乘以一个预条件矩阵对整个离散方程构建的矩阵系统进行预条件加速收敛性[(Fluent, Ansys. "17.0 Theory Guide." Ansys Inc 5 (2016).)]。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 15:07//
    ==== Pressure-Based solver ====
    压力基求解器:在压力基求解器中,压力作为一个单独的变量进行求解。连续性方程则作为一个限制性方程用来导出压力修正方程(求解压力修正量)或者压力方程(求解压力变量)。在压力基求解器中,进一步可以分为压力基耦合类求解器以及压力基分离式求解器。压力基求解器在求解不可压缩流动的时候压力方程为一个椭圆形方程,但是在求解可压缩流动的时候变成一个双曲形方程。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

    ==== Pressure-less gas dynamics ====
    无压力气体动力学方程是欧拉方程的简化,方程形式如下[(Coulombel, Jean-François. "From gas dynamics to pressureless gas dynamics." Proceedings of the American Mathematical Society 134.3 (2006): 683-688.)]:
    \begin{equation}
    \begin{matrix}
    \frac{\p\rho}{\p t}+\nabla\cdot(\rho\bfU)=0\
    \frac{\p\rho\bfU}{\p t}+\nabla\cdot(\rho\bfU\bfU)=0
    \end{matrix}
    \end{equation}
    其中$\rho$为密度,$\bfU$为速度矢量,$t$为时间。其为一个弱双曲形方程[(Chalons, Christophe, Damien Kah, and Marc Massot. "Beyond pressureless gas dynamics: quadrature-based velocity moment models." arXiv preprint arXiv:1011.2974 (2010).)]。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/17 17:35//

    ==== Point ====
    **点:**Point通常指的是几何模型的点,其主要用于辅助网格生成,注意和vertex的区别。
    ==== Poisson equation ====
    **泊松方程:**方程类型如$\nabla^2\phi=S$的形式被称之为泊松方程,其为一个椭圆形方程。当$S=0$的时候,泊松方程变为拉普拉斯方程。在网格生成领域,泊松方程可用来自动生成网格单元,在求解CFD方程的时候,导热以及压力方程通常为泊松方程的形式。求解泊松方程通常需要大量的计算时间,得益于多重网格方法,泊松方程的求解目前效率变得越来越高。

    CFD中的压力泊松方程可以对动量方程求散度来获得。
    ==== Polydisperse ====
    **多分散系统:**在多分散系统中,分散相的可以具有不同的属性,如颗粒具有不同的质量、气泡具有不同的直径等。注意区别分散系统以及单分散系统。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

    ==== Prandtl number ====
    普朗特数在CFD中通常分为层流普朗特数和湍流普朗特数。

    层流普朗特数为运动粘度(近似为动量的传导率)和热扩散率(近似为温度的传导率)的比值:
    \begin{equation}
    \mathrm{Pr}_l=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{\mu/\rho}{k/(C_p\rho)}=\frac{C_p\mu}{k}
    \end{equation}
    其中$\nu$为运动粘度(表示粘性扩散率),$\alpha$为热扩散率,$\mu$表示粘度,$k$表示热导率,$C_p$表示比热容,$\rho$表示密度。普朗特数可以用来衡量对流导热和传热的相对作用大小。空气以及其他大多数气体的层流普朗特数大约为$0.7$。

    湍流普朗特数为湍流粘度(近似看作湍流涡旋的扩散率)和湍流热扩散率(近似看做温度依托湍流涡旋的传导率)的比值:
    \begin{equation}
    \mathrm{Pr}_t=\frac{\nu_t}{\alpha_t}
    \end{equation}
    其中$\nu_t$为湍流粘度,$\alpha_t$为湍流热扩散率。从实验结果来看,湍流普朗特数大约为$0.85$左右。

    普朗特数定义为层流普朗特数和湍流普朗特数的加和:
    \begin{equation}
    \mathrm{Pr}=\mathrm{Pr}_l+\mathrm{Pr}_t
    \end{equation}
    在某些情况下,如果层流普朗特数和湍流普朗特数都为$1$,那么速度型线应该和温度型线相同。
    ==== Projection method ====
    投影法:对于速度压力耦合算法,投影法起始于求解速度,但求解后的速度并不满足连续性方程,然后对这个速度进行修正。之所以这一类方法被称作投影法是因为其中的散度项被projected out。投影法中最广泛使用的是修正值法。在修正值法中,速度和压力通过修正法来进行更新而不是求解真实的速度与压力。

    ==== Quasi-linear ====
    Quasi-linear即方程的非守恒形式。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/22 18:26//

    ==== QUICK scheme ====

    QUICK(Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics)格式是一个三阶(均一网格)的用于评估面变量的插值格式。

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/upwind.svg?150}}]]

    QUICK格式不仅考虑左右邻点的变量值,还进一步考虑邻点上风处的变量值。以速度举例,假定速度为从左至右的方向,面$p$上的$\bfU_p=\bfU_\rP+\frac{1}{8}\left(3\bfU_\rE-2\bfU_\rP-\bfU_\rW\right)$。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

    ==== Rayleigh–Bénard convection ====
    瑞利-贝纳尔对流/热分格对流是一种自然现象,将流体的底部温度加热至$T_1$,当流体的下表面温度和上表面温度$T_0$的温差$\Delta T$超过临界值的时候,在流体的水平层会发生对流现象,其形成类似对流卷的样式,且这些对流卷周期性排列(如下图):

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/Convectioncells.svg?150}}]]

    热分格对流在工程中有重要的意义,例如在某些情况下工程师需要尽可能的防止热分格对流的产生(如多层隔热玻璃),有些情况下这种热分格对流确是非常有益的(如热交换锅炉)。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Realizability ====
    **可实现性:**顾名思义,模型的可实现性即为保证模型预测的结果是复合物理意义的。在有些情况下,虽然解满足有界性,但是并不符合物理。可实现性在统计学理论(如CFD中的矩方法、PDF模型)等具有重要意义。若无法满足结果的可实现性,可能会导致非物理的解或者直接发散。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Rhie-Chow interpolation ====
    **Rhie-Chow插值:**在同位网格中,若使用常规的插值办法处理面速度($\bfU_f=\frac{\bfU_\rP+\bfU_\rN}{2}$),会导致$2-\delta$压差。Rhie & Chow在1983年提出将面速度表示为:
    \begin{equation}
    \bfU_f=\frac{\bfU_\rP+\bfU_\rN}{2}+\frac{1}{4}\frac{\p^3 p}{\p x^3}
    \end{equation}
    通过将压力的三阶梯度项添加到面速度当中引入$1-\delta$压差,使得压力震荡消失。$\frac{1}{4}\frac{\p^3 p}{\p x^3}$这一项也被称之为压力光顺项(pressure smoothing term)或者附加耗散项(added dissipation term)。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Residual kinetic energy ====
    残余湍流动能的另一个对应的英文为SGS kinetic energy。其定义为
    \begin{equation}
    {k_{sgs}}=\frac{1}{2}(\overline {{u_i}{u_i}} - \overline {{u_i}} \overline {{u_i}} )
    \end{equation}
    其中上划线表示过滤后的大尺度速度。

    ==== Relaxation time ====
    **弛豫时间:**指的是粒子在受力的情况下“适应”周围流动环境所需要的时间,可用于指示粒子对于流动变化适应能力的大小,或适应时间的长短。如果粒子最初为静止的,那么粒子则需要一段时间来达到周围流体的速度,这个时间即为弛豫时间。

    如果粒子的雷诺数小于$1$,粒子弛豫时间的计算公式为:
    \begin{equation}
    \tau=\frac{\rho_\rd d_\rd^2}{18\mu_\rc}
    \end{equation}
    其中$\tau$表示粒子的弛豫时间,$\rho_\rd$表示粒子的密度,$\mu_\rc$表示周围流体的粘度,$d_\rd$为粒子的直径,弛豫时间的单位为$s$。

    基于弛豫时间的定义,粒子所受的曳力可进一步定义为:
    \begin{equation}
    \mathbf{F}\mathrm{drag}=\frac{m}{\tau}\left(\bfU\rc-\bfU_\rd\right)
    \end{equation}
    其中$m$表示粒子的质量,$\bfU_\rc$表示周围流体的速度,$\bfU_\rd$表示粒子的速度。

    ==== Speed of sound ====
    **音速:**小压强扰动的传播速度即为音速$c$:
    \begin{equation}
    c^2=\frac{\rd p}{\rd \rho}
    \end{equation}
    其中$p$表示压强,$\rho$表示密度。按照等熵定律,其进一步的可以简化为:
    \begin{equation}
    c=\sqrt{\gamma \frac{p}{\rho}}
    \end{equation}
    其中$\gamma$表示热膨胀系数。

    对于理想气体,$\gamma=\frac{C_p}{C_v}$,同时$p=nRT/V$,$\rho=nM/V$,其中$R\approx 8.3145$为理想气体状态常数,$M\approx 0.0289$为摩尔质量,$n$为摩尔数。代入后有:
    \begin{equation}
    c=\sqrt{\gamma \frac{RT}{M}}
    \end{equation}

    例如$0$摄氏度($273K$)下空气的音速约为$1.48.3145273/0.0289\approx 331$ m/s。可见理想气体中的音速只与温度有关。

    在开源CFD软件OpenFOAM中,混合物的$R$通过指定摩尔质量来计算:
    \begin{equation}
    R=\frac{\mathrm{R_{mix}}}{\mathrm{molWeight_{mix}}}
    \end{equation}

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Spray ====
    **喷雾:**具有很低离散相分数的分散颗粒/液滴流动被称之为喷雾。其在引擎、汽轮机、锅炉中为获得最优燃烧混合物有着很大的重要性。喷雾流的模拟需要合理的处理颗粒/液滴的形成以及输运。通常,气流采用欧拉方法来表示。颗粒/液滴用拉格朗日法来表示。气体-颗粒/液滴之间的作用采用源项的形式交互。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Source term ====
    **源项:**CFD中的源项是一个统称,其指的是所有不能包括在对流项、时间项、扩散项中的项。例如在VOF模型中,有动量方程:
    \begin{equation}
    \frac{\partial \rho \mathbf{U}}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{U} \mathbf{U} ) - \nabla \cdot \tau = C \kappa \nabla \alpha -g h \nabla \rho -\nabla p_\mathrm{{rgh}}
    \end{equation}
    方程左边的第一项为时间项,第二项为对流项,第三项为扩散项。$C \kappa \nabla \alpha$以及$-g h \nabla \rho$则可以归结为源项。CFD中控制方程归结为这四项可使用通用型编程求解。

    ==== Spalart-Allmaras model ====
    Spalart-Allmaras湍流模型为一个一方程湍流模型,其求解湍流粘度参数$\tilde{\nu}$的控制方程,湍流粘度$\nu_t$可依据湍流粘度参数$\tilde{\nu}$计算而来。SA模型可表示为:
    \begin{equation}
    \frac{\p \rho\tilde{\nu}}{\p t}+\nabla\cdot(\rho\tilde{\nu}\bfU)=G+\frac{1}{\sigma_{\tilde{\nu}}}\left(\nabla\cdot((\mu+\rho\tilde{\nu})\nabla\bfU)+C\rho(\nabla\tilde{\nu}:\nabla\tilde{\nu})\right)-T+S_{\tilde{\nu}}
    \end{equation}
    其中$G$表示湍流粘度的产生,$Y$表示湍流粘度的消亡,$\sigma_{\tilde{\nu}}$和$C$为用户自定义参数,$\mu$为层流粘度,$S_{\tilde{\nu}}$为用户自定义源项。

    $\tilde{\nu}$在壁面的值应为$0$,在进口处应该给定。ANSYS Fluent通过下面的方式近似的计算$\tilde{\nu}$:
    \begin{equation}
    \tilde{\nu}=\sqrt{\frac{3}{2}}\bfU\bfI \times 0.07 L
    \end{equation}
    其中$\bfU$为来流速度,$L$为水力学直径。
    ==== Sparse linear system ====
    稀疏线性系统:

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/sparselinearsystem.svg}}]]

    一个由$N$个方程构成的系统,如果大部分的元素为$0$,那么这个系统就被称之为稀疏线性系统。在上图中,黑点表示非$0$元素,可见对于整个矩阵,非$0$元素并不多。目前对于具体多少个元素为$0$才能构成稀疏线性系统并没有公认的判断方法。一种方法为对于$N$个未知数的系统,非$0$元素占据$N$(而不是$N^2$)个左右。大型稀疏线性系统(如CFD方程离散后构成的方程组)通常使用迭代的方法进行求解。各种迭代求解算法的终极目标为降低时间或降低内存。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Specific turbulence dissipation ====
    $\omega$和湍流动能以及湍流动能耗散率的关系为:
    \begin{equation}
    \omega=\frac{\varepsilon}{k\beta}
    \end{equation}
    其中$k$表示湍流动能,$\varepsilon$表示湍流动能耗散率,$\beta$为自定义常数,通常取$0.09$。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Spectral method ====
    谱方法是偏微分方程组数值求解的一种方法,是目前精度高于有限体积法以及有限差分法的求解方法。对于有限差分法,其将求解的方程转换为网格点上的方程组。对于谱方法,其则是使用基本函数来逼近求解的解如:
    \begin{equation}
    f(x)\approx f_N(x)=\sum_{i=0}^N a_i\phi_i(x)
    \end{equation}
    其中$f(x)$表示真实解,$f_N(x)$表示谱函数求得的解,$a_i$表示谱函数系数,$\phi_n(x)$表示基本函数。谱方法的精度随着$i$而指数型增长。对于有限差分法,如果笛卡尔网格单元各个方向加密2倍则精度提高4倍,但是对于谱方法则精度提高$10^{6}$倍。然而对于非光滑的解,比如存在激波等间断,则不建议使用谱方法。

    ==== Spectral radius ====
    谱半径即矩阵的实数特征值的绝对值(或复数的模)最大的值:
    \begin{equation}
    \rho(\bfA)=\max|\lambda_i|
    \end{equation}
    其中$\bfA$为矩阵,$\lambda_i$为对应的$i$个特征值。谱半径在CFD中主要和稀疏线性系统的迭代求解方法有关,对任意的迭代方法如
    \begin{equation}
    \bfx^{n+1}=\mathbf{B}\bfx^{n}+...
    \end{equation}
    其收敛的标准为$\mathbf{B}$的谱半径$<1$。谱半径越小,收敛越快。
    ==== Staggered grid ====
    错位网格指得是速度存储的节点和压力存储的节点并不统一,也即速度节点和压力节点是错位的,因此这样的网格系统被称之为错位网格。错位网格提出的根本在于防止压力震荡的出现。对错位网格的离散可以引入$1-\delta$压差来防止压力震荡。但是错位网格由于在非笛卡尔网格以及复杂网格系统上实施复杂,目前在CFD软件中已经很少使用。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Stiff equation ====
    **刚性方程:**目前刚性方程组并没有一个统一的定义,习惯上把只有使用非常小的时间步(或积分步长)才能获得稳定解的待求方程组称之为刚性方程。

    {{ :stiffequation.jpg?400 |}}

    上图中,欧拉显性只有在足够小的时间步长下才会保持稳定。这在比较短的模拟时间下可以接受,但是在长时间的模拟过程中过小的时间步长并不是好的选择。

    在CFD中,耦合类密度基算法在处理低马赫数流动的时候方程组变得非常刚性。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Stokes number ====
    **斯托克斯数:**Stokes数定义为颗粒响应时间与系统响应时间之比:
    \begin{equation}
    St=\frac{\tau_d}{t_s}
    \end{equation}
    式中的$\tau_d=\rho_\mathrm{d}d_\mathrm{d}^2/(18\mu_\mathrm{c})$,$t_s=L_s/\mathbf{U}_s$。这里的$t_s$指得是基于所研究系统的特征长度$L_s$和特征速度$U_s$的比值。当$St\ll 1.0$的情况下,颗粒紧密跟随主流,离散相模型、Mixture模型、双流体模型都适用;用户可选择计算资源消耗最小的模型(大多数情况下为Mixture模型),或者根据其他因素选择最合适的模型。当$St> 1.0$,颗粒运动将独立于主流运动,需选择离散相模型或欧拉模型。当$St\approx 1.0$,三种模型也可任选其中之一。用户可以根据计算资源消耗的大小或者其他因素选择最合适的模型。

    对于有限的斯托克斯数,颗粒倾向于在涡旋处累积。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Substantial derivative ====
    物质导数在数学上即为对某变量做关于时间的全导数。在CFD中表示为移动的无穷小微团通过某点的时候,无穷小微团上温度的瞬时变化率。例如变量$T$的物质导数定义为:
    \begin{equation}
    \frac{\rD T}{\rD t}=\frac{\p T}{\p t}+u\frac{\p T}{\p x}+v\frac{\p T}{\p y}+w\frac{\p T}{\p z}
    \end{equation}
    其中$T$表示温度变量,$t$表示时间,$u,v,w$分别表示速度的三个方向。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/19 15:28//
    ==== Supersonic outflow ====
    超音速出口:如果流体在出口是超音速的,所有出口的变量值需要从计算域相邻的内节点获得,即不需要指定边界信息[(Ferziger>)]。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Thermal diffusivity rate ====

    热扩散率为定义为:
    \begin{equation}
    \alpha=\frac{\kappa}{\rho c_p}
    \end{equation}
    其中$\kappa$为热导率,$\rho$为密度,$c_p$为比热容。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Two fluid model ====
    **双流体模型:**双流体模型中的每一相都具有一组动量方程和连续性方程。各相之间通过压力和相间交换进行耦合,耦合的处理方式取决于流动中相的类型。比如颗粒流和非颗粒流的处理方式就不同。对于颗粒流,是通过运动学理论获得相间的耦合特性。相间的动量交换也取决于流动中相的类型。双流体模型的应用场合有:鼓泡床、上浮、颗粒悬浮、以及流化床。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Trapezoid rule ====
    **梯形公式:**考虑对于对时间的积分,梯形公式认为:
    \begin{equation}
    \int_{t_n}^{t^{n+1}}f(t)\rd t=\frac{1}{2}\left(f(t_n)+f(t_{n+1})\right)\Delta t
    \end{equation}
    参考下图:

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/trapezoidrule.svg?150}}]]

    图中虚线框的面积为待求的积分,梯形公式计算的面积为灰色阴影部分的面积。类似的方法还有欧拉隐性以及欧拉显性。梯形公式为一种二阶精度的计算格式,其为CN格式的根基。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Total pressure ====
    **总压:**在CFD中,总压$p_0$即为静压$p$以及动压$\frac{1}{2}\rho|\bfU|^2$之和:
    \begin{equation}
    p_0=p+\frac{1}{2}\rho|\bfU|^2
    \end{equation}

    ==== Turbulent energy dissipation rate ====
    湍流动能耗散率定义为湍流动能在单位时间耗散为热能的速率,其单位为$\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^3=\mathrm{J}/\left(\mathrm{kg\cdot s}\right)$,表达式为:
    \begin{equation}
    \varepsilon=2\nu_t\overline{S_{ij}S_{ij}}
    \end{equation}
    其中$S_{ij}$表示形变率,$\nu_t$表示湍流粘度。若湍流符合各向同性假定,则有
    \begin{equation}
    \varepsilon=\nu_t\overline{\frac{\p u_i’}{\p x_k}\frac{\p u_i’}{\p x_k}}
    \end{equation}
    其中$u_i'$表示$i$分量的脉动速度。

    在kEpsilon模型中,湍流动能耗散率的计算公式为
    \begin{equation}
    \varepsilon=C_\mu^{0.75}\frac{k^{1.5}}{l_m}
    \end{equation}
    其中$C_\mu$通常取值$0.09$,$k$为湍流动能,$l_m$为混合长。在不具有模型的情况下,$l_m$可近似估计为$0.07L$。

    ==== Turbulent frequency====
    湍流频率用$\Omega$表示,目前对其并没有严格的数学定义。其通常由湍流动能和湍流动能耗散率计算出来:
    \begin{equation}
    \Omega=\frac{\varepsilon}{\beta k}
    \end{equation}
    其中$\varepsilon$表示湍流动能耗散率,$k$表示湍流动能,$\beta$为无经验常数,通常取值$0.09$。

    ==== Turbulent kinetic energy ====
    湍流动能$k$可以理解为湍流的强度,其单位为$\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2=\mathrm{J}/\mathrm{kg}$,表达式为:
    \begin{equation}
    k=\frac{1}{2}\left(\overline{u'^2}+\overline{v'^2}+\overline{w'^2}\right)
    \end{equation}
    湍流强度会通过剪切、浮力等产生,也会被粘性力耗散。

    ==== Turbulent viscosity ====
    湍流粘度
    kEpsilon模型
    \begin{equation}
    \mu_t=\rho C_\mu\frac{k^2}{\varepsilon}
    \end{equation}
    kOmega模型
    \begin{equation}
    \mu_t=\rho \frac{k}{\Omega}
    \end{equation}
    ==== Turbulent prandtl number ====

    湍流普朗特数为湍流粘度(近似看作动量的传导率)和热扩散率的比值:
    \begin{equation}
    \mathrm{Pr}_t=\frac{\nu_t}{\alpha}
    \end{equation}
    其中$\nu_t$为湍流粘度,$\alpha$为热扩散率。湍流普朗特数的值大体在$0.85$左右。类似的还存在普朗特数。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== U plus ====
    $u^+$为速度和摩擦速度的比值,其为一个无量纲数。在壁面附近,其和$y^+$存在一定的经验关系构成近壁法则。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

    ==== Upwind differencing scheme ====
    迎风格式是一个一阶的用于评估面变量的插值格式。

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/upwind.svg?150}}]]

    以速度举例,假定速度为从左至右的方向,在上图中,面$p$上的$\bfU_p=\bfU_\rP$。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Vertex ====
    **点:**通常指的是网格单元的顶点,注意区别于point。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Vertex centered volume ====
    **VC控制体:**在VC控制体中,有限控制体的体心作为顶点,进一步的组合成小的有限控制体,流动变量存储在这个新的有限控制体的体心。注意区别它和CC控制体。更详细的介绍请参考[[https://mp.weixin.qq.com/s/lU125w8CgGHYU1Qvdzm3kQ|外部链接]]。
    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Volume of fluid ====
    VOF模型是一种网格固定的的表面跟踪技术。该模型用于观察两种及以上互不相融流体间的分界面。VOF模型中,两种流体共用一组动量方程,计算域中各流体的体积分数在每个计算单元上被跟踪。VOF模型的应用场合有:分层流、自由面流动、灌注、晃动,液体中大气泡的流动、水坝决堤时的水流、任意液-气的稳态或瞬态分界面问题。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Voronoi diagram ====
    泰森多边形:给定一个平面内的任何点,泰森多边形定义每个点内的多边形内的点距离这个点比其他点都要近。例如,给定一系列的点,在这些点中出现了火源,那么泰森多边形则是火源以相同的速度扩散构成的区域。

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/Voronoi.svg?200}}]]

    例如上图中,每个黑点周围的区域内的点距离区域内的黑点最近。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 15:07//
    ==== Wing ====

    机翼是为固定翼航空器(包括飞机和滑翔机)提供升力的主要部件,其模仿鸟类的翅膀,维持其在空中的飞行以及提供必要的操纵力。下图是机翼剖面——翼型的不同操作用于不同的飞行条件简述:

    [[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/wing.svg?200}}]]

    其中红色的为扰流板,前面的绿色构件为前缘缝翼,后面的绿色构件为两段后缘襟翼。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
    ==== Y plus ====
    $y^+$:在壁面附近,壁面应力、流体粘度是非常重要的参数。$y^+$可以用来决定粘性过程和湍流过程的相对重要性的大小,其计算公式为:
    \begin{equation}
    y^+=\frac{u_\tau y_\rP}{\nu}
    \end{equation}
    其中$u_\tau$为摩擦速度,$y_\rP$为第一个网格点距离壁面的距离,$\nu$为运动粘度。

    --- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

    ==== $1-\delta$ pressure difference ====

    **$1-\delta$压差:**其指的是在离散的动量方程中引入1个网格宽度的压力梯度。例如,考虑错位网格单元,离散后的速度方程可以表示为:
    \begin{equation}\label{1-delta}
    A_e\bfU_e=\sum A_\rN\bfU_\rN-\frac{p_\rE-p_\rP}{\delta}
    \end{equation}
    其中$A_e$,$A_\rN$表示离散后速度的矩阵系数,$\bfU_e$,$\bfU_\rN$表示面$e$以及临点的速度,$p_\rE$以及$p_\rP$表示$E$以及$\rP$节点的压力。在方程\eqref{1-delta}的右边的压力梯度中,分母为$\delta$,因此对于上述方程可认为引入的为$1-\delta$压差。

    在使用同位网格的情况下,压力和速度的耦合方式处理不妥当会引起压力震荡的出现。问题的根本在于动量方程在离散的过程中引入了$2-\delta$压差。1983年[[https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/3.8284|Rhie-Chow插值]]方法的提出,成功的将$1-\delta$压差引入到离散的方程中。

    ==== $2-\delta$ pressure difference ====

    **$2-\delta$压差:**其指的是在离散的动量方程中引入2个网格宽度的压力梯度。例如,考虑同位网格单元,离散后的速度方程可以表示为:
    \begin{equation}\label{2-delta}
    A_\rP\bfU_\rP=\sum A_\rN\bfU_\rN-\frac{p_\rE-p_\rW}{2\delta}
    \end{equation}
    其中$A_\rP$,$A_\rN$表示离散后速度的矩阵系数,$\bfU_\rP$,$\bfU_\rN$表示$\rP$以及临点的速度,$p_\rE$以及$p_\rW$表示$\rE$以及$\rW$节点的压力。在方程\eqref{2-delta}的右边的压力梯度中,分母为$2\delta$,因此对于上述方程可认为引入的为$2-\delta$压差。

    在使用同位网格的情况下,$2-\delta$压差的出现会引起压力震荡。1983年[[https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/3.8284|Rhie-Chow插值]]方法的提出,成功的将$1-\delta$压差引入到离散的方程中。


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