变比热容计算



  • 理想气体比热容是温度的函数,
    那么有个问题:
    已知总温总压 马赫数 怎么求得静温静压?
    望解答


  • 网格教授 OpenFOAM教授 管理员

    比如压力这个,你需要知道速度,然后从方程倒推出来。链接文本



  • 李老师@李东岳
    根据我的推导,对于可压缩理想气体 应该满足如下的关系,但是从公式看出 这是要迭代求解的 ,推导是否正确
    \par$\bullet$求解静温(已知总温和马赫数)
    \begin{equation}\label{equ:NSUs}
    U_s^2=2\left(h_t(T_{tot})-h_t(T_{sta})\right)=2\left(C_p(T_{tot})T_{tot}-C_p(T_{sta})T_{sta}\right)
    \end{equation}
    \begin{equation}\label{equ:NSmach}
    Mach^2=\frac{U^2}{\gamma(T)R_gT}=\frac{U^2}{\frac{C_p(T)}{C_p(T)-R_g}R_gT}
    \end{equation}
    \par由(\ref{equ:NSmach})和(\ref{equ:NSUs})得
    \begin{equation}\label{equ:NSTsta}
    T_{sta}=\frac{C_p(T_{tot})T_{tot}}{C_p(T_{sta})\left(1+\frac{1}{2}Mach^2\frac{R_g}{C_p(T_{sta})-R_g}\right)}
    \end{equation}
    \par$\bullet$求解静压(已知总温、总压和静温)
    \par由(\ref{equ:NSdsds})得,等熵过程
    \begin{equation}
    ds = C_p(T)\frac{dT}{T} -R_g\frac{d p}{p}=0
    \end{equation}
    \par两边同时积分有
    \begin{equation}
    \int_{T_{tot}}^{T_{sta}}C_p(T)\frac{dT}{T} =\int_{p_{tot}}^{p_{sta}} R_g\frac{d p}{p}
    \end{equation}
    \par记
    \begin{equation}
    S(T_{x})=\int_{T_{x}}^{T_{0}}C_p(T)\frac{dT}{T}
    \end{equation}
    \par则
    \begin{equation}
    S(T_{sta}) - S(T_{tot}) = R_g\ln\frac{p_{sta}}{p_{tot}}
    \end{equation}
    \par那么
    \begin{equation}\label{equ:NS_psta}
    p_{sta}=p_{tot}e^{\left(\frac{S(T_{sta})-S(T_{tot})}{R_g}\right)}
    \end{equation}



  • 之前有点问题,最终如下
    \par $C_p$采用4次多项式分段拟合
    \begin{equation}\label{equ:NS_Cp}
    C_p(T)=a_1+a_2T+a_3T^2+a_4T^3+a_5T^4
    \end{equation}
    \par静焓
    \begin{equation}\label{equ:NS_H}
    H(T)=\int_{T_{0}}^{T_{x}}C_p(T)dT=a_1T+\frac{a_2}{2}T^2+\frac{a_3}{3}T^3+\frac{a_4}{4}T^4+\frac{a_5}{5}T^5+a_6
    \end{equation}
    \par熵
    \begin{equation}\label{equ:NS_S}
    S(T)=\int_{T_{0}}^{T_{x}}C_p(T)\frac{dT}{T}=a_1\ln{T}+a_2T+\frac{a_3}{2}T^2+\frac{a_4}{3}T^3+\frac{a_5}{4}T^4+a_7
    \end{equation}
    \par$\bullet$求解静温(已知总温和马赫数)
    \begin{equation}\label{equNSUs}
    U_s^2=2\left(H(T_{tot})-H(T_{sta})\right)
    \end{equation}
    \begin{equation}\label{equNSmach}
    Mach^2=\frac{U^2}{\gamma(T)R_gT}=\frac{U^2}{\frac{C_p(T)}{C_p(T)-R_g}R_gT}
    \end{equation}
    \par由(\ref{equ:NSmach})和(\ref{equ:NSUs})得
    \begin{equation}\label{equNSTsta}
    T_{sta}=\frac{2\left(H(T_{tot})-H(T_{sta})\right)}{Mach^2\frac{C_p(T_{sta})R_g}{C_p(T_{sta})-R_g}}
    \end{equation}
    $\bullet$求解静压(已知总温、总压和静温)
    \par由p等熵过程
    \begin{equation}
    ds = C_p(T)\frac{dT}{T} -R_g\frac{d p}{p}=0
    \end{equation}
    \par两边同时积分有
    \begin{equation}
    \int_{T_{tot}}^{T_{sta}}C_p(T)\frac{dT}{T} =\int_{p_{tot}}^{p_{sta}} R_g\frac{d p}{p}
    \end{equation}
    \par记
    \begin{equation}
    S(T_{x})=\int_{T_{0}}^{T_{x}}C_p(T)\frac{dT}{T}
    \end{equation}
    \par则
    \begin{equation}
    S(T_{sta}) - S(T_{tot}) = R_g\ln\frac{p_{sta}}{p_{tot}}
    \end{equation}
    \par那么
    \begin{equation}\label{equNS_psta}
    p_{sta}=p_{tot}e^{\left(\frac{S(T_{sta})-S(T_{tot})}{R_g}\right)}
    \end{equation}